【追加】(2025年9月23日)2025年09月24日更新
[1] Mathematica13.3 で 5次以下の方程式のガロア群や，5次方程式の解を求めるプログラムを書いたのは
2025年の冬でした．(Mathematicaで５次方程式の厳密解を求める)そのあと７次方程式に取り掛かりましたが，5次方程式に比べると数段難しかったです．体感では３倍ほどの難しさでしょうか？
最初の問題は 「私のプログラムでは7次方程式のガロア群が求まらなかった点」です．次の問題は「Web上では，参考文献が英文を含めても非常に少ない事(私はWikiPediaのみ参考にしました)」で，最後の問題は「７次方程式の本質的な難しさ」です．
[2]結局，７次方程式のガロア群や原始元vの最小多項式，解のvによる表現については
SageMath を使って求めました．同時に，2日かけて f(x)=x7+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f (a,b,c,d,e,fは絶対値が10以下の整数)の可解なガロア群を全て求めたのですが，そのときガロア群は F42とD7（位数はそれぞれ42と14）しか見つかりませんでした．英語版のWikiPedia では可解な7次方程式のガロア群は C7,D7,F21,F42(位数はそれぞれ7，14,21,42)の4種類あるはずなのですが，私には見つけられませんでした．なお,F21,F42と書きましたが，Wiki ではメタ巡回群と呼んでいます．ここでは「Mathematicaで5次方程式の厳密解を求める」と繋がるような表現にしています．
[3]解き方は5次方程式と基本的には同じです．但し，最初に原始元とGalois群を（SageMathで）求めてから解いています．少し詳しく言うと，F42もD7 もC7を含むので，7次のLagrangeの分解式r1〜r6の7乗をR1〜R6とすると，R1+R2+R3+R4+R5+R6が「単純計算」で求まります．そしてR1，R2，R3，R4，R5，R6 を解に持つ方程式のガロア群はC6或いはその部分群となるので，3次方程式と2次方程式を組み合わせて解くことができます．すなわち，以下の2通りの方法で解けます．（もちろん，n次方程式の代わりに，n次のLagrangeの分解式を考えても解けます.）詳しくはF42_Solutions.nbをご覧ください．
[4]上の2つが「基本的な解法」ですが，さらに「Mathematicaで5次方程式の厳密解を求める」で参考文献[1][2]として挙げた「R1=l0+l1ζ+l2ζ2+・・・+l6ζ6 の係数l1〜l6を使う方法」も試しました．5次方程式の時と同様に「綺麗にかつ簡単に」解けるのですが，5次方程式の場合と異なり，他の2つの方法に比べて解が長くなるのが欠点です．詳しくは「Another_F42.nb」をご覧ください．
[5] 「Mathematica で可解で既約な7次方程式の厳密解を求めるプログラム」も書きました．しかしガロア群と原始元vによる解の表現は他のソフト(SageMath や Magma など)で求めないといけないので，「未完成」です．またこのプログラムは 「x6の係数が0」の場合にしか対応していません．（平行移動するだけなので訂正するのはすぐできるのですが，今は時間がありません．）
[6]7次方程式には本質的な難しさも有ります．一つには「変数の多さからくる計算量の増大」と「結果の表示の膨大さ」です．5次方程式の場合は一瞬で計算が終わったのが，7次の場合は「コーヒーを飲んで休憩」できるぐらいの時間がかかることがあります．また結果は長い解だと5頁位に渡ることもあります．さらに「既存の公式がないことからなる大変さ」も有ります．[3][4]で述べた様に，「R1〜R6」或いは「l1〜l6」の6次方程式に帰着させても，6次方程式の解の公式はなく，少し工夫が必要になります．（5次方程式の場合は「R1〜R4」或いは「l1〜l4」の4次方程式を解くことに帰着され，4次方程式は解の公式が存在するので容易でした）最後に，2乗根，3乗根，７乗根で正しい根の選択をするのも，変数やステップが多くなり大変です．結局，不本意ながら，数値計算を利用して根を選択することにしました．(^^;)
[7]原稿は少しバージョンアップして(^_^) Mathematica14 で書きました．Mathematica をお持ちの方なら，notebookをダウンロードしてそのまま「ノートブックを評価」すれば，厳密解とそこに至るプロセスの両方が良く分かると思います．ただ計算が複雑なせいか，ノートブックの評価に20秒から，最大1分程の時間がかかります．ご注意下さい．
[8]Mathematica をお持ちでない方は PDF をご覧ください．また無料でnotebookを読める「Wolfram Player」というのも有ります．Windows,Mac,Linux,iOS に対応しています．「PDFの右端が切れて読めない」などの場合は，こちらをお使いください．
[9]ご感想，ご質問などは下のメールリンクからお願いします．それではお楽しみください．これで
Mathematica ， GeoGebra， Magma, SageMath など数学ソフトの愛好者が一人でも増えれば良いと思っています．
(2025年 5月5日)
【追加】(2025年9月23日)
[10]上のファイルをアップしたのち，私は6次方程式の解の公式，5次方程式の解の公式をGalois分解式を使って作り，またこれらを使ったプログラムを書きました．それが終わったのが6月末で，その後，7月初めより，7次方程式の解の公式をやはりGalois分解式を使って作ろうとしたのですが，余りにも次数が大きくなりこれはすぐ断念しました．その後 web上で公式を探したのですが見つからず，やっとのことで「参考文献1」を見つけました．（「7次方程式の解の公式(septic equation, formula)」と検索すると，特別な場合にしか使えないがより簡単な公式がヒットします．このバリアを通り抜けないと見つかりませんでした.) 「文献1」は5次と7次の一般の解の公式を述べているのですが，MathematicaではなくMapleを使っていることと，終結式とグレブナー基底を多用していることで馴染みがなく，読むのに2カ月もかかってしまいました．しかしようやくこれを用いたプログラムを作る事ができて非常に嬉しいです．
[11] Mathematicaをお持ちの方はもちろん notebook を開いて「評価」すれば，いろいろパラメータを変えて，遊べると思います．Mathematicaをお持ちでない方も，「Wolfram Player」をダウンロードして「solveSepticApp.nb」を開けば，対話式(インタラクティブ)に7次方程式の解を見ることができます．なお，サンプルは「ここ」にあります．またPDFではプログラムの右端が切れてしまったり，文章の配置が大きく乱れてしまったりするのですが（この2点はWolframにもっと頑張って頂きたい所です） ，Wolfram Player を使えば そんなこともありません．
[12]「7次方程式の解の公式については，日本ではご存じの方が余りいらっしゃらないと思いますが，（私も2カ月前までは全く知りませんでした)
,目が覚めるようなテクニックで作った素晴らしい公式と感じました．この素晴らしい公式と考え方を少しでも多くの方に分かって頂きたいと思い，力の限りかなり詳しく説明文を書きました．但し専門家ではないので間違っている点も有ると思います．その際はご連絡を頂けると幸いです．
参考文献 Mathematica とGalois基底を使って，可解で既約な7次方程式を解く具体例| 方程式 | Galois群 | Notebook | ||
| 1. | x7-2x5+x4 +4x3-x2-4 x +3 | F42 | F42_Solutions.pdf | F42_Solutions.nb |
| 2. | 同上 | 同上 | Another_F42.pdf | Another_F42.nb |
Mathematica とGalois基底を使って，可解で既約な7次方程式を解く「未完成」プログラム
| Notebook | |
| solveSepticProgramVer1.pdf | solveSepticProgramVer1.nb |
「7次方程式の解の公式」と「完成版」プログラム&アプリ（「文献１」参照）| Notebook | ||
| 1 | F35.pdf | F35.nb |
| 2 | F1,F2,F3.pdf | F1,F2,F3.nb |
| 3 | G1,G2.pdf | G1,G2.nb |
| 4 | FormulaPart1.pdf | FormulaPart1.nb |
| 5 | FormulaPart2.pdf | FormulaPart2.nb |
| 6 | Examples.pdf | Examples.nb |
| 7 | solveSepticProgramVer2.pdf | solveSepticProgramVer2.nb |
| solveSepticApp.nb - player でも 対話式に遊べます - |
F35の式(Mathematicaを持っていない方用) | F35.txt |
可解で既約な7次方程式のリスト（係数の絶対値が15以下)| solvableSepticEquations.txt |
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