f: (x^7)-2(x^5)+(x^4)+4(x^3)-(x^2)-4x+3 の厳密解
with Mathematica 14

Galois群が(Subscript[F, 42]) の方程式            　                2025 年5月4日  by  (HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

[注] 計算量が膨大なのでノートブック全体の評価には1分ほどかかります

§0.[準備] Galois群，原始元vの最小多項式V(x),  vによるf(x)の解の表現

SageMathを使って求めました．詳しくは  (HyperlinkURL["sagemath.shtml", https://mixedmoss.com/mathematica/Galois/sagemath.shtml]) をご参照ください .

Galois群は (Subscript[フロベニウス群F, 42])=(Subscript[C, 7]) (Subscript[C, 6])=<σ,τ>,但し σ=(1,2,3,4,5,6,7),τ=(1,3,2,6,4,5),分解列は　(Subscript[F, 42])⊳(Subscript[F, 21])⊳(Subscript[C, 7])⊳{id},(Subscript[但しF, 21])=<σ,(τ^2)>.  或いは　(Subscript[F, 42])⊳(Subscript[D, 7])⊳(Subscript[C, 7])⊳{id},但し (Subscript[D, 7])=<σ,(τ^3)>

ClearAll["`*"];

f[x_]=x^7-2x^5+x^4+4x^3-x^2-4x+3;
V[x_]=x^42-28*x^40+396*x^38-3569*x^36+21260*x^34-72675*x^32+10544*x^30+1246661*x^28-5902845*x^26+7569068*x^24+36867012*x^22-157414881*x^20+22205417*x^18+848975725*x^16-503974224*x^14-3040667773*x^12+404109589*x^10+6330002991*x^8+7362768751*x^6+3706246726*x^4+873281136*x^2+127353499;

sols={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}={(96632638432453628071050796796660223873313711316/62609452658981321494654745708976627407962995501)+(v/2)+((3637017704098182974627003435602279693868195305399 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((5011928958072860605104979990835090507297547003227 (v^4))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((1376615098014096136938460630402520413819930988119 (v^6))/292177445741912833641722146641890927903827312338)+((240670522744669421572142229851572198924328653252 (v^8))/70339014715645682173007183450825593754625093711)-((321815802559772789751607027647991936332144442343 (v^10))/125218905317962642989309491417953254815925991002)-((45566706873078835901734848929076638452747688724532 (v^12))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((24506886629878134026012747229041119152076506918488 (v^14))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((6665510819287368992592916284378586018031708720209 (v^16))/21161994998735686665193304049634100063891492479338)-((13782094473610302613153541442338082951083948881183 (v^18))/49377988330383268885451042782479566815746815785122)+((22831089135151560353745064161417834647761128928273 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)+((1577717078663024528335174561058513334734442255241 (v^22))/71323760921664721723429284019137152067189845022954)-((270680287253828846123927649788599297302178483889791 (v^24))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((22200136102960279235874120467635354497835586418433 (v^26))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)+((1966735258194424748954054506479683118080722563827 (v^28))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((1238922646515362369789518418621953873382476290253 (v^30))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((321536629370674449080807747790435100057582471955 (v^32))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)-((153039971025005331660994874269660265473688335789 (v^34))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((2720579755772758196222763279229524636919622656 (v^36))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((372108843164451880965088833131335627617449911 (v^38))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((19299124153388721784979223864064323408935722 (v^40))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427),-(88241033276128162996093511842393324406337916420/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((827201936611387419702597540657036572443629638032 (v^2))/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((29975346986835504500518510615126088217584697791297 (v^4))/813922884566757179430511694216696156303518941513)-((70277972325846639061647195248910565060491883530157 (v^6))/1899153397322433418671193953172291031374877530197)-((1926754541342822399506044786570961456182049757392 (v^8))/211017044146937046519021550352476781263875281133)+((100254295056986395896712880824527497685097738156994 (v^10))/5697460191967300256013581859516873094124632590591)+((10474992905716634957015163812916218183952303668147 (v^12))/1899153397322433418671193953172291031374877530197)-((131223078764485655637458742083130155534080857895702 (v^14))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)-((90282172472086282646716765586197154444226953214913 (v^16))/137552967491781963323756476322621650415294701115697)+((367430753920217427452300911303599711593797994562727 (v^18))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((68711002191812459345625738364226615213809888606810 (v^20))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((2513157577164488573825669024791521170943852438523 (v^22))/35661880460832360861714642009568576033594922511477)+((542526321836043091266409368775927169946056058706348 (v^24))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((102926763075204167680376625240237378908442646170818 (v^26))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((53256571004991995940131510646791012033971012018447 (v^28))/162725160542778062612003911489661412441293631419869551)+((30386283172849669931095948674643646995016180368909 (v^30))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)-((8400691503632549339556119511344124718138324811507 (v^32))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)+((4122981123186925834204362434020505346464931187354 (v^34))/162725160542778062612003911489661412441293631419869551)-((149786196759253697556216809628657522169451451134 (v^36))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)+((10431838957202624878839744576476004701395942156 (v^38))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)-((1101163842121353171371676670108916397406672160 (v^40))/162725160542778062612003911489661412441293631419869551),(96632638432453628071050796796660223873313711316/62609452658981321494654745708976627407962995501)-(v/2)+((3637017704098182974627003435602279693868195305399 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((5011928958072860605104979990835090507297547003227 (v^4))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((1376615098014096136938460630402520413819930988119 (v^6))/292177445741912833641722146641890927903827312338)+((240670522744669421572142229851572198924328653252 (v^8))/70339014715645682173007183450825593754625093711)-((321815802559772789751607027647991936332144442343 (v^10))/125218905317962642989309491417953254815925991002)-((45566706873078835901734848929076638452747688724532 (v^12))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((24506886629878134026012747229041119152076506918488 (v^14))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((6665510819287368992592916284378586018031708720209 (v^16))/21161994998735686665193304049634100063891492479338)-((13782094473610302613153541442338082951083948881183 (v^18))/49377988330383268885451042782479566815746815785122)+((22831089135151560353745064161417834647761128928273 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)+((1577717078663024528335174561058513334734442255241 (v^22))/71323760921664721723429284019137152067189845022954)-((270680287253828846123927649788599297302178483889791 (v^24))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((22200136102960279235874120467635354497835586418433 (v^26))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)+((1966735258194424748954054506479683118080722563827 (v^28))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((1238922646515362369789518418621953873382476290253 (v^30))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((321536629370674449080807747790435100057582471955 (v^32))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)-((153039971025005331660994874269660265473688335789 (v^34))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((2720579755772758196222763279229524636919622656 (v^36))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((372108843164451880965088833131335627617449911 (v^38))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((19299124153388721784979223864064323408935722 (v^40))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427),(51232076726535592539693229608250643509094987669/62609452658981321494654745708976627407962995501)+((118369706842537629691237106836655411020037991001 v)/41739635105987547663103163805984418271975330334)+((4521034244477742878475761118234091775535367947685 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((2267782116600307917175515388154910323317811842280 (v^3))/146088722870956416820861073320945463951913656169)+((50074058430284865739383297269331841317556332198586 (v^4))/3067863180290084753238082539739854742990186779549)+((652619836555520191863100587015747063755273115564275 (v^5))/26588147562514067861396715344412074439248285422758)+((218548875672032974923105707620828368409511151042779 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)+((4786669672508467974962706573041071136854729361332 (v^7))/340873686698898305915342504415539415887798531061)+((7409024595306685097523365054508816364253435980699 (v^8))/2954238618057118651266301704934674937694253935862)-((27046846608650996715154299123172993476801593561366 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)-((606364389221964438617207519649966389218905968457977 (v^10))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)-((2361654920514656224511692713685896097713376226114501 (v^11))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((304143935131466726452959645611401720337024851192447 (v^12))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)+((26897140856140745443445924850404276930594864679193 (v^13))/19202551017371271233230961082075387095012650583103)+((373935027752140805340080281416135607206106156332104 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)+((173675823646315297428036901487558339795074307613581 (v^15))/115215306104227627399385766492452322570075903498618)+((86000491925025361484128606585971079824977789107907 (v^16))/518468877469024323297235949216035451565341565743781)-((1985557564253454143841313305653747926003888672611611 (v^17))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((1948832486639910979876523896350125788335495340653241 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((100861697423546965582808105655745835420484480173765 (v^19))/748899489677479578096007482200940096705493372741017)+((28787874908608959142994602174257656221981519003166 (v^20))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)+((2484098277488684167776872439376482375999932614879 (v^21))/30567326109284880738612550293915922314509933581266)+((2025067058009085173355344779640795776585795725605 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)-((47854316887612640578924437346397072123096298456695 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)-((1435890832156916893045687617953990174579838627441092 (v^24))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((141319342739124588412695304947358159876050506822456 (v^25))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((21910692504062901037117032143351306134839165108649 (v^26))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((54624585236277236905181916369771636852387723859918 (v^27))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((15134589278274004309660585062268415914574896840393 (v^28))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((82234510350145884918558677910991141953166060320682 (v^29))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((6075883090121932734618739451043402466778348020592 (v^30))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)-((9294331922513437750654225423118168689447079276009 (v^31))/253128027510988097396450528983917752686456759986463746)+((3434625279960877920644980706954304547140893683241 (v^32))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)+((177378002284448288270571475675298871699944119621 (v^33))/9375112130036596199868538110515472321720620740239398)-((65505587152585247245890177540595025481092401157 (v^34))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)-((2872032655660774541933235757011080773023873761845 (v^35))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)+((31159731172422683751836991618573032630350331941 (v^36))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((19638934359829519971646697575360754952942941872 (v^37))/42188004585164682899408421497319625447742793331077291)-((89111499804706185823291165775440133449903219 (v^38))/1192125718262110348805889461462720970265887409669374)-((1288445754125719819995901147839297283392038789 (v^39))/36161146787284013913778646997702536098065251426637678)+((463590092677173147225979672677982736237921771 (v^40))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((5039624589011689115944760045941240123592935 (v^41))/3686330497732836369851221295882297369220244077472773),-(103744198520925139112697270483714205179239740775/62609452658981321494654745708976627407962995501)+((2946473470916063355182436215680337836653064387 v)/1715327470109077301223417690656893901588027274)-((169117028021158136798898697802651104449868270490 (v^2))/62609452658981321494654745708976627407962995501)+((3079821519870508742823591722468448475686037879892 (v^3))/438266168612869250462583219962836391855740968507)-((144609526008548551881555944013721393879445611341670 (v^4))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)+((1266281930426279961432726750106305838234883574378989 (v^5))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)-((35211959491211112438040482932956069526596418646644 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)+((17495094062130810447943886382786012602122436579255 (v^7))/1022621060096694917746027513246618247663395593183)-((447767195687004889667891689142013169533432346171 (v^8))/328248735339679850140700189437186104188250437318)+((29969535131228242752090842106104401444417273928752 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)+((54790495026817467205995515245022384433398905565755 (v^10))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)-((8637429237311416017223334511707984992638009734703155 (v^11))/1036937754938048646594471898432070903130683131487562)+((292997412065823374441827269254500524272857710726965 (v^12))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((1257974636010987044215894776752581174337038037901743 (v^13))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((86202458485587948791063914728467896901358702126563 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)+((937057183599568912356161343959395687905762684238243 (v^15))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((1029058365402242798589954965330373400584250132023989 (v^16))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((3481744270649927997745062944250461190852242319898760 (v^17))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((630987806296926525507389788477693355727548726901805 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((2886293540695871757609670588434371016013359348022501 (v^19))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((11695836760557019294108530145706531877914278327795 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)+((33503685139373586506705203496244135433946752978175 (v^21))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((933719809757377120283101238618953301008150511776 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)+((285509658132130943523483897764494428305121616912451 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)+((74527647864487236161077169461283480050194940858945 (v^24))/13480190814194632405728134679616921740698880709338306)-((4281930517992655204598566032921897585481955956295731 (v^25))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((79996284510325081252322072796183635058208989743605 (v^26))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)+((383238182461092841423418439322960861801297287608239 (v^27))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((90949740287001694377152475730627325071184040706247 (v^28))/1139076123799446438284027380427629887089055419939086857)+((44496787411600803857789698432737956896878439073713 (v^29))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((29005469483060268616630880549610368824464564183026 (v^30))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((258440829145137530404605903464123768026424713777 (v^31))/800193975271827494403953200159908596479842233887662)-((15105121386794942457845417659926680191103349149489 (v^32))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)+((5076489751874750855365658117271757568304642639599 (v^33))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)+((7206657958540817910830876529116665345460351836387 (v^34))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)-((2459062329592409364434257504888710895263653600449 (v^35))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((128397574359427943183393515751034838561159897960 (v^36))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)+((44253473030732828961465804411387476590023299302 (v^37))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((1257361243081756241812953169898205300786049808 (v^38))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)-((436768524450988420940093322243348554008744403 (v^39))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((1830964905870526079202217797311067649672579307 (v^40))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)+((320157006089788566467589826145131200974383336 (v^41))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989),-(103744198520925139112697270483714205179239740775/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((2946473470916063355182436215680337836653064387 v)/1715327470109077301223417690656893901588027274)-((169117028021158136798898697802651104449868270490 (v^2))/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((3079821519870508742823591722468448475686037879892 (v^3))/438266168612869250462583219962836391855740968507)-((144609526008548551881555944013721393879445611341670 (v^4))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)-((1266281930426279961432726750106305838234883574378989 (v^5))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)-((35211959491211112438040482932956069526596418646644 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)-((17495094062130810447943886382786012602122436579255 (v^7))/1022621060096694917746027513246618247663395593183)-((447767195687004889667891689142013169533432346171 (v^8))/328248735339679850140700189437186104188250437318)-((29969535131228242752090842106104401444417273928752 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)+((54790495026817467205995515245022384433398905565755 (v^10))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)+((8637429237311416017223334511707984992638009734703155 (v^11))/1036937754938048646594471898432070903130683131487562)+((292997412065823374441827269254500524272857710726965 (v^12))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)+((1257974636010987044215894776752581174337038037901743 (v^13))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((86202458485587948791063914728467896901358702126563 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)-((937057183599568912356161343959395687905762684238243 (v^15))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((1029058365402242798589954965330373400584250132023989 (v^16))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)-((3481744270649927997745062944250461190852242319898760 (v^17))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((630987806296926525507389788477693355727548726901805 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)+((2886293540695871757609670588434371016013359348022501 (v^19))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((11695836760557019294108530145706531877914278327795 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)-((33503685139373586506705203496244135433946752978175 (v^21))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((933719809757377120283101238618953301008150511776 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)-((285509658132130943523483897764494428305121616912451 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)+((74527647864487236161077169461283480050194940858945 (v^24))/13480190814194632405728134679616921740698880709338306)+((4281930517992655204598566032921897585481955956295731 (v^25))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((79996284510325081252322072796183635058208989743605 (v^26))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((383238182461092841423418439322960861801297287608239 (v^27))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((90949740287001694377152475730627325071184040706247 (v^28))/1139076123799446438284027380427629887089055419939086857)-((44496787411600803857789698432737956896878439073713 (v^29))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((29005469483060268616630880549610368824464564183026 (v^30))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)+((258440829145137530404605903464123768026424713777 (v^31))/800193975271827494403953200159908596479842233887662)-((15105121386794942457845417659926680191103349149489 (v^32))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)-((5076489751874750855365658117271757568304642639599 (v^33))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)+((7206657958540817910830876529116665345460351836387 (v^34))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)+((2459062329592409364434257504888710895263653600449 (v^35))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((128397574359427943183393515751034838561159897960 (v^36))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((44253473030732828961465804411387476590023299302 (v^37))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((1257361243081756241812953169898205300786049808 (v^38))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)+((436768524450988420940093322243348554008744403 (v^39))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((1830964905870526079202217797311067649672579307 (v^40))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)-((320157006089788566467589826145131200974383336 (v^41))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989),(51232076726535592539693229608250643509094987669/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((118369706842537629691237106836655411020037991001 v)/41739635105987547663103163805984418271975330334)+((4521034244477742878475761118234091775535367947685 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)-((2267782116600307917175515388154910323317811842280 (v^3))/146088722870956416820861073320945463951913656169)+((50074058430284865739383297269331841317556332198586 (v^4))/3067863180290084753238082539739854742990186779549)-((652619836555520191863100587015747063755273115564275 (v^5))/26588147562514067861396715344412074439248285422758)+((218548875672032974923105707620828368409511151042779 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)-((4786669672508467974962706573041071136854729361332 (v^7))/340873686698898305915342504415539415887798531061)+((7409024595306685097523365054508816364253435980699 (v^8))/2954238618057118651266301704934674937694253935862)+((27046846608650996715154299123172993476801593561366 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)-((606364389221964438617207519649966389218905968457977 (v^10))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)+((2361654920514656224511692713685896097713376226114501 (v^11))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((304143935131466726452959645611401720337024851192447 (v^12))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)-((26897140856140745443445924850404276930594864679193 (v^13))/19202551017371271233230961082075387095012650583103)+((373935027752140805340080281416135607206106156332104 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)-((173675823646315297428036901487558339795074307613581 (v^15))/115215306104227627399385766492452322570075903498618)+((86000491925025361484128606585971079824977789107907 (v^16))/518468877469024323297235949216035451565341565743781)+((1985557564253454143841313305653747926003888672611611 (v^17))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((1948832486639910979876523896350125788335495340653241 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)+((100861697423546965582808105655745835420484480173765 (v^19))/748899489677479578096007482200940096705493372741017)+((28787874908608959142994602174257656221981519003166 (v^20))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((2484098277488684167776872439376482375999932614879 (v^21))/30567326109284880738612550293915922314509933581266)+((2025067058009085173355344779640795776585795725605 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)+((47854316887612640578924437346397072123096298456695 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)-((1435890832156916893045687617953990174579838627441092 (v^24))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)+((141319342739124588412695304947358159876050506822456 (v^25))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((21910692504062901037117032143351306134839165108649 (v^26))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)-((54624585236277236905181916369771636852387723859918 (v^27))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((15134589278274004309660585062268415914574896840393 (v^28))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((82234510350145884918558677910991141953166060320682 (v^29))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((6075883090121932734618739451043402466778348020592 (v^30))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((9294331922513437750654225423118168689447079276009 (v^31))/253128027510988097396450528983917752686456759986463746)+((3434625279960877920644980706954304547140893683241 (v^32))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)-((177378002284448288270571475675298871699944119621 (v^33))/9375112130036596199868538110515472321720620740239398)-((65505587152585247245890177540595025481092401157 (v^34))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((2872032655660774541933235757011080773023873761845 (v^35))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)+((31159731172422683751836991618573032630350331941 (v^36))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)-((19638934359829519971646697575360754952942941872 (v^37))/42188004585164682899408421497319625447742793331077291)-((89111499804706185823291165775440133449903219 (v^38))/1192125718262110348805889461462720970265887409669374)+((1288445754125719819995901147839297283392038789 (v^39))/36161146787284013913778646997702536098065251426637678)+((463590092677173147225979672677982736237921771 (v^40))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((5039624589011689115944760045941240123592935 (v^41))/3686330497732836369851221295882297369220244077472773)};

以下，ζ  を1の原始7乗根の, ωを1の原始3乗根のひとつとする．

§１．Lagrange分解式 r1~r6 の7乗をR1~R6とし，t1=R1+R6,t2=R2+R5,t3=R3+R4,t4=R1R6,t5=R2R5,t6=R3R4の「候補」を求める

(Subscript[C, 7]) ⊳{Id}の部分に注目し，として，Lagrange の 7次分解式をつくる .
このとき，V(v)と円分方程式 (v^6)+(v^5)+(v^4)+(v^3)+(v^2)+v+1 で割った余りを考える．

r0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5 +x6 + x7//PolynomialMod[#,V[v]]&;
r1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5+ζ^5 x6 +ζ^6 x7//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
r2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ^6 x4 +ζ x5+ζ^3 x6 +ζ^5 x7//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;r3=x1+ζ ^3 x2+ ζ^6 x3 +ζ^2 x4 +ζ^5 x5+ζ x6 +ζ^4 x7//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;r4=x1+ζ^4 x2+ ζ x3 +ζ^5 x4 +ζ^2 x5+ζ^6 x6 +ζ^3 x7//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
r5=x1+ζ ^5 x2+ ζ^3 x3 +ζ x4 +ζ^6 x5+ζ^4 x6 +ζ^2 x7//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;r6=x1+ζ^6 x2+ ζ^5 x3 +ζ^4 x4 +ζ^3 x5+ζ^2 x6 +ζ x7//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;

解と係数の関係より r0 = 0. またσ=(1,2,3,4,5,6,7),τ=(1,3,2,6,4,5)とおくと, (Subscript[F, 42])=<σ,τ>だから

(#)({{{, ({{r1をσで移すと r1(Overscript[→, σ])(ζ^6)r1,, τで移すと r1(Overscript[→, τ])(ζ^4)r5}, {r2をσで移すと r2(Overscript[→, σ])(ζ^5)r2,, τで移すと r2(Overscript[→, τ])ζ r3}, {r3をσで移すと r3(Overscript[→, σ])(ζ^4)r3,, τで移すと r3(Overscript[→, τ])(ζ^5)r1}, {r4をσで移すと r4(Overscript[→, σ])(ζ^3)r4,
r5をσで移すと r5(Overscript[→, σ])(ζ^2)r5, 
r6をσで移すと r6(Overscript[→, σ])ζ r6,, τで移すと r4(Overscript[→, τ])(ζ^2)r6
τで移すと r5(Overscript[→, τ])(ζ^6)r4
τで移すと r6(Overscript[→, τ])(ζ^3)r2}})}})

即ち, σは 分解式を「r1→(ζ^6)r1→(ζ^5)r1→(ζ^4)r1→(ζ^3)r1→→(ζ^2)r1→ζ r1→r1」 のように移し、τ は「 r1→(ζ^4)r5→(ζ^3)r4→(ζ^5)r6→ζr2→(ζ^2)r3→r1」 のように移す.  

さらにfの最小分解体K内の 同型写像 ϕ: ζ→(ζ^4) とすると( (ζ^i)を無視すれば) τと 同様に移す．                        
                            (by ϕ) r1→r5→r4→r6 →r2→r3 →r1⋯        

以下，R1=(r1^7),R2=(r2^7),R3=(r3^7),R4=(r4^7),R5=(r5^7),R6=(r6^7) とおく．(#)よりσで　R1,R2,R3,R4,R5,R6は不変．τで「R1→R5→R4→R6→R2→R3→R1」のように移る．故にt1=R1+R6, t2=R2+R5, t3=R3+R4とすると, t1,t2,t3はσで動かずさらに「t1(Overscript[→, τ])t2(Overscript[→, τ])t3(Overscript[→, τ])t1・・・」となるから　u1=t1+t2+t3(=R1+R2+R3+R4+R5+R6) は σやτで動かない。さらに「u2=t1+ω t2+(ω^2) t3, 　u3=t1+(ω^2) t2+ω t3」 とおくと、「u2(Overscript[→, τ])(ω^2)u2, u3(Overscript[→, τ])ωu3」だから　(u2^3) , (u3^3), u2*u3 はやはりσやτで動かない. ゆえにu1, (u2^3),(u3^3), u2*u3 は(Subscript[F, 42])の固定体 Q(ζ,ω)に入るから「単純計算」で値は求まる。

R1=r1^7;R2=r2^7;R3=r3^7;R4=r4^7;R5=r5^7;R6=r6^7;
t1=R1+R6//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
t2=R2+R5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
t3=R3+R4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;

u1=t1+t2+t3
u2=t1+ω t2+ω^2 t3;
u3=t1+ω^2 t2+ω t3;
u2cubed=u2^3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&
u3cubed=u3^3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&
m=u2 u3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&

u1~u3の定義式より「t1=(u1+u2+u3)/3, t2=(u1+(ω^2)u2+ω u3)/3, t3=(u1+ω u2+(ω^2) u3)/3」 であるが，(u2, (ω^2)u2, ω u2) は 「(*) (x^3)=u2cubed」 の異なる3つの解であり，かつ (u3, ωu3, (ω^2) u3) は、(*)の解が決まると一通りに決まるので，(*)の任意の3乗根の一つを改めてu2と固定し, さらにu3=m/u2 とすると，t1,t2,t3の「集合」は，{t1,t2,t3}={(u1+u2+u3)/3, u1+(ω^2) u2+ω u3)/3,u1+ω u2+(ω^2) u3)/3} となる．(t1,t2,t3を解とする3次方程式を作って求めることも容易．補足B 参照)

さらに，この例では (u2^3)+(u3^3), u2u3 が実数だから，u2とu3は複素共役．故に集合 t123≡{ t1,t2,t3}は，

u2=u2cubed^(1/3)
u3=u3cubed^(1/3)
t123=1/3{(u1+u2+u3),(u1+ω^2 u2+ω u3),(u1+ω u2+ω^2 u3)}//Simplify

同様に，t4=R1 R6, t5=R2 R5, t6=R3 R4とすると, t4,t5,t6はσで動かずさらに「t4(Overscript[→, τ])t5(Overscript[→, τ])t6(Overscript[→, τ])t4・・・」となるから　v1=t4+t5+t6(=R1 R6+R2 R5+R3 R4) は σやτで動かない。

さらに「v2=t4+ω t5+(ω^2) t6, v3=t4+(ω^2) t5+ω t6」 とおくと「v2(Overscript[→, τ])(ω^2)v2,v3(Overscript[→, τ])ωv3」だから(v2^3),(v3^3),v2v3 はやはりσやτで動かない.

故に これらは(Subscript[F, 42])の固定体 Q(ζ,ω)に入るから「単純計算」で値は求まる。

t4=R1 R6//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
t5=R2 R5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
t6=R3 R4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;

v1=t4+t5+t6
v2=t4+ω t5+ω^2 t6//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&;
v3=t4+ω^2 t5+ω t6//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&;
v2cubed=v2^3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&
v3cubed=v3^3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&
n=v2 v3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&

{t1,t2,t3}=t123と同様にして，集合 t456≡{t4,t5,t6}は

v2=v2cubed^(1/3)
v3=v3cubed^(1/3)
t456=1/3{(v1+v2+v3),(v1+ω^2 v2+ω v3),(v1+ω v2+ω^2 v3)}//Simplify

R1~R6を求めるにはセットが正しく選ばれていればよいので(例えばt1=R2+R5となってもよいが，この場合は t4=R2*R5にならないといけない) ,  (t1, t2, t3, t4, t5, t6) の候補は次の3!通りとしてよい．

(t123,t456[[{1,2,3}]]),  (t123,t456[[{1,3,2}]]),  (t123,t456[[{2,1,3}]]) ... (t123,t456[[{3,2,1}]])

本来はこれらの値からR1~R6, さらに 7乗根を取ってr1～r6 の候補を求め，その中から 束縛条件(補足A)を満たすr1~r6の値を選ぶべきであるが，これはかなり大変なので，数値計算を使って正しいr1~r6の値を求めることにする．

§2．数値計算を利用してr1~r6 の値を求める

このセクションでは，数値解を 「$」 を前に付けて表す．($x1~$x7については定義の変更を伴う) 後での再利用のため，変数をセーブしておく．

oldr={r0,r1,r2,r3,r4,r5,r6};oldR={R1,R2,R3,R4,R5,R6};oldt={t1,t2,t3,t4,t5,t6};

§2 - 1.  数値計算を利用してt1～t6を求める

まずは原始元vの値をNSolveで求めて，それをsols (f(x)の根を原始元で表した式) へ代入し ，f  の根の数値解($x1～$x7)を求める

v0=(v/.NSolve[V[v]==0,v])[[1]]
{$x1,$x2,$x3,$x4,$x5,$x6,$x7}=sols/.{v->v0}

これらの$x1~$x7と，ζ = Cos[2 Pi/7] + I Sin[2 Pi/7] を代入した r0~r6, R1~R6, t1~t6 の値を求め，最後に $t1～$t6 をまとめて表示すると，

ζ=Cos[2Pi/7]+I Sin[2Pi/7];
$r1=$x1+ζ $x2+ ζ^2 $x3 +ζ^3 $x4 +ζ^4 $x5+ζ^5 $x6 +ζ^6 $x7;
$r2=$x1+ζ^2 $x2+ ζ^4 $x3 +ζ^6 $x4 +ζ $x5+ζ^3 $x6 +ζ^5 $x7;
$r3=$x1+ζ ^3 $x2+ ζ^6 $x3 +ζ^2 $x4 +ζ^5 $x5+ζ $x6 +ζ^4 $x7;
$r4=$x1+ζ^4 $x2+ ζ $x3 +ζ^5 $x4 +ζ^2 $x5+ζ^6 $x6 +ζ^3 $x7;
$r5=$x1+ζ ^5 $x2+ ζ^3 $x3 +ζ $x4 +ζ^6 $x5+ζ^4 $x6 +ζ^2 $x7;
$r6=$x1+ζ^6 $x2+ ζ^5 $x3 +ζ^4 $x4 +ζ^3 $x5+ζ^2 $x6 +ζ $x7;
{$R1,$R2,$R3,$R4,$R5,$R6}={$r1,$r2,$r3,$r4,$r5,$r6}^7;
{$t1,$t2,$t3,$t4,$t5,$t6}={$R1+$R6,$R2+$R5,$R3+$R4,$R1 $R6,$R2 $R5,$R3 $R4}

一方, §1でもとめた  t1~t6  の厳密解の近似値は, ω=(-1+(Sqrt[-3]))/2 としたとき，

{t123,t456}={t123,t456}/.{ω->(-1+Sqrt[-3])/2};

N[{t123,t456}]

上の2つを比較すると 正しいt1~t6の値は次のようになる

{t1,t2,t3}=t123;
{t4,t5,t6}=t456[[{3,1,2}]];

§2 - 2.  数値計算を利用してr1～r6を求める

t1～t6に正しい厳密解が入ったので R16={R1, R6},R25= {R2, R5},R34= {R3, R4}  は各々次の2次方程式の2解となる

R16=y/.Solve[y^2-t1 y+t4==0,y];
R25=y/.Solve[y^2-t2 y+t5==0,y];
R34=y/.Solve[y^2-t3 y+t6==0,y];

これらの近似値と，$R1～$R6  を比べる．

{R16,R25,R34}//N

{{$R1,$R6},{$R2,$R5},{$R3,$R4}}

$R1~$R6の値とR16, R25, R34の値を比較して,R1~R6の厳密解が求まる．

{R1,R6}=R16;
{R2,R5}=R25;
{R3,R4}=R34[[{2,1}]];

N[{R1,R2,R3,R4,R5,R6}]

どうやら R1~R6は全て実数である．後は7乗根をとるだけ．これも数値計算を使っても良いが「R1～R6が全て実数の時，r1～r6は全て実数としても一般性を失わない」事が5次方程式の時と同様に言えるので，r1~r6の値は次のようになる(r1のみ表示. また再利用のため r1mainとおく)

real7thRoot[x_]:=If[Re[N[x]]>0,x^(1/7),-(-x)^(1/7)];
{r1,r2,r3,r4,r5,r6}=real7thRoot/@{R1,R2,R3,R4,R5,R6};
r1main=r1

§3．x1~x7 の値を求める

(#) よりx1~x7の値は次の様になる(x1,x2のみを表示してます. )

x1=1/7(r1+r2+r3+r4+r5+r6)//Simplify//TraditionalForm
x2=1/7(ζ^6r1+ζ^5r2+ζ^4r3+ζ^3r4+ζ^2r5+ζ r6)//Simplify//TraditionalForm
x3=1/7(ζ^5r1+ζ^3r2+ζ r3+ζ^6r4+ζ^4r5+ζ^2r6);
x4=1/7(ζ^4r1+ζ r2+ζ ^5r3+ζ^2r4+ζ^6r5+ζ^3 r6);
x5=1/7(ζ^3r1+ζ^6 r2+ζ ^2r3+ζ^5r4+ζ r5+ζ^4 r6);
x6=1/7(ζ^2r1+ζ^4 r2+ζ ^6r3+ζ r4+ζ^3 r5+ζ^5 r6);
x7=1/7(ζ r1+ζ^2 r2+ζ ^3r3+ζ^4 r4+ζ^5 r5+ζ^6 r6);

念のため, 上のx1～x7の値と  NSolve  で求めた解を比べてみると，ご覧の様に一致します．(Sort がうまく働いていませんが「謎」です)

{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}//N//Sort

x/.NSolve[f[x]==0,x]//Sort

§4．補足

まず，最初の定義に戻ります．§2の冒頭でセーブしておいたデータを入力します．

ClearAll[ζ,ω]
{r0,r1,r2,r3,r4,r5,r6}=oldr;
{R1,R2,R3,R4,R5,R6}=oldR;
{t1,t2,t3,t4,t5,t6}=oldt;

§4A. 束縛条件を考慮して，正しいt1~t6の値を求めることも可能?

5次方程式では，R1~R4の取りえる値をすべて考え，さらに5つの5乗根をとり，そのうち束縛条件( (Subscript[r, 1]) ((Subscript[r, 2])^2)+(Subscript[r, 4]) ((Subscript[r, 3])^2),(Subscript[r, 3]) ((Subscript[r, 1])^2)+(Subscript[r, 2]) ((Subscript[r, 4])^2)) をみたす (Subscript[r, 1])~(Subscript[r, 4])を求めました．7次方程式でも同様の束縛条件を考えることもできます．p = r1  (r3^2) + r2  (r6^2)+ r4  (r5^2) ,  q =r3  (r2^2)+ r5  (r1^2) + r6  (r4^2)  とおくと，p,qはσによって変わらず，p(Overscript[→, τ])q, q(Overscript[→, τ])p であるから，p+qとpq はσ,τによって変わらない. 故に p+qとpq はQ(ζ,ω)に含まれる．「単純計算」して，

p=r1 r3^2+r2 r6^2+r4 r5^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&;
q=r3 r2^2+r5 r1^2+r6 r4^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&;
p+q//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&
p q//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ],Cyclotomic[3,ω]}]&

ゆえに　 p, qの値は

x/.Solve[x^2-7x-7791==0,x]

取りえるすべてのR1~R6の値に対して7乗根を考え，上の束縛条件を満たすr1~r6を求めることも可能でしょう．しかしそれはかなり大変．

§4B. Lagrangeの3次分解式u1~u3を使わずに，3次方程式の解の公式から，t1~t6 の候補を求めることも可能

t1,t2,t3はσで動かずさらに「t1(Overscript[→, τ])t2(Overscript[→, τ])t3(Overscript[→, τ])t1・・・」となるから　t1 t2 t3, t1 t2+t2 t3+t3 t1 , t1+t2+t3 は σ,τ で動かない．ゆえにこれらは (Subscript[F, 42])の固定体Q(ζ,ω)に入るから，「単純計算」で値は求まる．

p1=t1+t2+t3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&
p2=t1 t2+t2 t3+t3 t1//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&
p3=t1*t2*t3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&

故に，t1, t2, t3 は次の3次方程式の解となる．分母を有理化していない点が，本文の結果と異なる．

同様にして　 t4, t5, t6  も求まる．この方が早くて簡単．しかし 「3 次方程式の解の公式はLagrangeの3次分解式を使っている」 ので，本文の方法と本質的には同じ．

§4C. t1=R1+R6, t2=R2+R5, t3=R3+R4の値を求める代わりに，最初にs1=R1+R2+R4, s2=R3+R5+R6 の値を求めることも可能

即ち「3次方程式→2次方程式」の代わりに「2次方程式→3次方程式」でも解けるということ．ただし，こちらの方が時間がかかります．

「σで　R1,R2,R3,R4,R5,R6は不変．τで「R1→R5→R4→R6→R2→R3→R1」のように移る ので,s1=R1+R4+R2, s2=R5+R6+R3 とおくと，s1,s2はσで動かず，τによって互いに移る．ゆえに　s1+s2, s1 s2 はσ,τによって不変なので  (Subscript[F, 42])の固定体に入る．「単純計算」すると，

s1=R1+R4+R2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
s2=R5+R6+R3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&;
p=s1+s2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&
q=s1*s2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[7,ζ]}]&

これから　s1=R1 +R2+R4 と　 s2=R3+R5 +R6 を解に持つ 2次方程式を作り，s1,s2の値を求めると

x /. Solve[x^2 -p x + q == 0, x]

同様に，(R1 R4+R4 R2 +R2 R1)+(R3 R5+R5 R6 +R6 R3),(R1 R4+R4 R2 +R2 R1)(R3 R5+R5 R6 +R6 R3)と (R1 R4 R2)(R3 R5 R6) ,(R1 R4 R2)+(R3 R5 R6) はσ,τによって不変なので  (Subscript[F, 42])の固定体に入る．故に「単純計算」でこれらの値は求まる．計算はかなり時間がかかるので，経過は省略するが結果は

{R1 R4+R4 R2 +R2 R1,R3 R5+R5 R6 +R6 R3}=(117649/2) {22501±6261 (Sqrt[13]),22501∓6261 (Sqrt[13]))(複合同順)
{R1R4R2,R3R5R6}={-105413504,-105413504}

となる．ゆえに「R1,R2,R4を解に持つ3次方程式」と「R3,R5,R6を解に持つ3次方程式」は次の4組のいずれかとなる．

A.{x^3+(2401/2) (145+39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501+6261 (Sqrt[13]))x+105413504=0,x^3+(2401/2) (145-39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501-6261 (Sqrt[13]))x+105413504=0}

B.{x^3+(2401/2) (145+39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501-6261 (Sqrt[13]))x+105413504,x^3+(2401/2) (145-39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501+6261 (Sqrt[13]))x+105413504=0}

C.{x^3+(2401/2) (145-39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501+6261 (Sqrt[13]))x+105413504=0,x^3+(2401/2) (145+39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501-6261 (Sqrt[13]))x+105413504=0}

D.{x^3+(2401/2) (145-39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501-6261 (Sqrt[13]))x+105413504=0,x^3+(2401/2) (145+39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501+6261 (Sqrt[13]))x+105413504=0}

本文と同様に数値計算を利用すると，正しい方程式のセットは A でR1はその1番目の解と分かる．それをR1newとおくと，

R1new=x/.Solve[x^3+(2401/2) (145+39 (Sqrt[13]))x^2+(117649/2) (22501+6261 (Sqrt[13]))x+105413504==0,Cubics->True]//First

対応するr1 の値を r1new とおくと，r1newは実数としても一般性を失わないから，

r1new=-(-R1new)^(1/7)

一方，本文で求めたr1は

r1main

N[{r1main,r1new}]

2つの「形」はかなり異なるが，同じ「値」になる．

§4D.   R1, R2,R3,R4, R5,R6 を解に持つ6次方程式を作りR1~R6を求めることも可能

§3 - 3 より　 (R1 + R4 + R2) + (R5 + R6 + R3) = -348145

同様に 「単純計算」 で，R1~R6の基本対称式の値が求まる(計算には非常に時間がかかるので結果のみ述べる)
R1  R2 + R1  R3 + R1  R4 + R1  R5 + R1  R6 +⋯ + R5  R6 = 4451602862
R1  R2  R3 + R1  R2  R4 + R1  R2  R5 +⋯ + R4 R5 R6=-12474035347599
R1  R2  R3  R4 + R1  R2  R3  R5 + R1  R2  R3  R6 +⋯ + R3  R4  R5  R6=-11405103991346163
R1  R2  R3  R4  R5 + R1  R2  R3  R4  R6 + ⋯ + R2  R3  R4  R5  R6=-279052751765492096
R1 R2 ⋯R6=(-105413504)^2

これから　R1,R2,R3,R4,R5,R6を解に持つ6次方程式fR(x)は,

fR[x_]=(x^6)+348145(x^5)+4451602862(x^4)+12474035347599(x^3)-11405103991346163(x^2)+279052751765492096x+(-105413504)^2

この方程式のGalois群は Magma (Subscript[によるとC, 6])なので可解．よって2次と3次の方程式の組み合わせで解くことができる．(これまでのR1~R6の値の求め方からも明らかですが...)まず判別式を取ると．

Discriminant[fR[x],x]//Sqrt

よって次のようにQ((Sqrt[13]))において，因数分解できる．

Factor[fR[x],Extension->Sqrt[13]]

このあと3次方程式の解の公式を使えば，R1~R6が求まる．この方法は最もすっきりしているが，基本対称式の計算が非常に時間がかかるので実用的ではない．これよりは「R1 ((のζ)^k)(0≤k≤6)の係数l0,l1,..l6 を求める解法」（ (HyperlinkURL["Another_F42.nb", https://mixedmoss.com/mathematica/Galois/septic/notebook/Another_F42.nb]) 参照) の方が，同じく6次方程式に帰着させる解法だが，計算量がずーと少ない．