2025年05月06日更新

　Mathematica で, 7次方程式(septic equation)の厳密解を求める

[1] Mathematica13.3 で 5次以下の方程式のガロア群や，5次方程式の解を求めるプログラムを書いたのは 2025年の冬でした．(Mathematicaで５次方程式の厳密解を求める)そのあと７次方程式に取り掛かりましたが，5次方程式に比べると数段難しかったです．体感では３倍ほどの難しさでしょうか？

最初の問題は「私のプログラムでは7次方程式のガロア群が求まらなかった点」です．次の問題は「Web上では，参考文献が英文を含めても非常に少ない事(私はWikiPediaのみ参考にしました)」で，最後の問題は「７次方程式の本質的な難しさ」です．

[2]結局，７次方程式のガロア群や原始元vの最小多項式，解のvによる表現については SageMath　を使って求めました．同時に，2日かけて　f(x)=x⁷+ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f (a,b,c,d,e,fは絶対値が10以下の整数)の可解なガロア群を全て求めたのですが，そのときガロア群は　F₄₂とD₇（位数はそれぞれ42と14）しか見つかりませんでした．英語版のWikiPedia　では可解な7次方程式のガロア群は　C₇,D₇,F₂₁,F₄₂(位数はそれぞれ7，14,21,42)の4種類あるはずなのですが，私には見つけられませんでした．なお,F₂₁,F₄₂と書きましたが，Wiki ではメタ巡回群と呼んでいます．ここでは「Mathematicaで5次方程式の厳密解を求める」と繋がるような表現にしています．

[3]解き方は5次方程式と基本的には同じです．但し，最初に原始元とGalois群を（SageMathで）求めてから解いています．少し詳しく言うと，F₄₂もD₇ もC₇を含むので，7次のLagrangeの分解式r₁～r₆の7乗をR₁～R₆とすると，R₁+R₂+R₃+R₄+R₅+R₆が「単純計算」で求まります．そしてR₁，R₂，R₃，R₄，R₅，R₆ を解に持つ方程式のガロア群はC₆或いはその部分群となるので，3次方程式と2次方程式を組み合わせて解くことができます．すなわち，以下の2通りの方法で解けます．（もちろん，n次方程式の代わりに，n次のLagrangeの分解式を考えても解けます.）詳しくはF42_Solutions.nbをご覧ください．

R₁+R₂+R₃+R₄+R₅+R₆の値から，3次方程式を解いて（R₁+R₆),（R₂+R₅),（R₃+R₄)の値を求め，次に2次方程式を解いてR₁～R₆を求める
R₁+R₂+R₃+R₄+R₅+R₆の値から, 2次方程式を解いて（R₁+R₂+R₄)，（R₃+R₅+R₆)の値を求め，次に3次方程式を解いてR₁～R₆を求める

[4]上の2つが「基本的な解法」ですが，さらに「Mathematicaで5次方程式の厳密解を求める」で参考文献[1][2]として挙げた「R₁=l₀+l₁ζ+l₂ζ²+・・・+l₆ζ⁶ の係数l₁～l₆を使う方法」も試しました．5次方程式の時と同様に「綺麗にかつ簡単に」解けるのですが，5次方程式の場合と異なり，他の2つの方法に比べて解が長くなるのが欠点です．詳しくは「Another_F42.nb」をご覧ください．

[5] 「Mathematica で可解で既約な7次方程式の厳密解を求めるプログラム」も書きました．しかしガロア群と原始元vによる解の表現は他のソフト(SageMath や Magma など)で求めないといけないので，「未完成」です．

[6]7次方程式には本質的な難しさも有ります．一つには「変数の多さからくる計算量の増大」と「結果の表示の膨大さ」です．5次方程式の場合は一瞬で計算が終わったのが，7次の場合は「コーヒーを飲んで休憩」できるぐらいの時間がかかることがあります．また結果は長い解だと5頁位に渡ることもあります．さらに「既存の公式がないことからなる大変さ」も有ります．[3][4]で述べた様に，「R₁～R₆」或いは「l₁～l₆」の6次方程式に帰着させても，6次方程式の解の公式はなく，少し工夫が必要になります．（5次方程式の場合は「R₁～R₄」或いは「l₁～l₄」の4次方程式を解くことに帰着され，4次方程式は解の公式が存在するので容易でした）最後に，2乗根，3乗根，７乗根で正しい根の選択をするのも，変数やステップが多くなり大変です．結局，不本意ながら，数値計算を利用して根を選択することにしました．(^^;)

[7]原稿は少しバージョンアップして(^_^) Mathematica14 で書きました．Mathematica をお持ちの方なら，notebookをダウンロードしてそのまま「ノートブックを評価」すれば，厳密解とそこに至るプロセスの両方が良く分かると思います．ただ計算が複雑なせいか，ノートブックの評価に20秒から，最大1分程の時間がかかります．ご注意下さい．

[8]Mathematica をお持ちでない方は PDF をご覧ください．また無料でnotebookを読める「Wolfram Player」というのも有ります．Windows,Mac,Linux,iOS に対応しています．「PDFの右端が切れて読めない」などの場合は，こちらをお使いください．

[9]ご感想，ご質問などは下のメールリンクからお願いします．それではお楽しみください．これで Mathematica ， GeoGebra， Magma, SageMath など数学ソフトの愛好者が一人でも増えれば良いと思っています． (2025年　5月5日)

　Mathematica で可解で既約な7次方程式を解く具体例

	方程式	Galois群	PDF	Notebook
1.	x⁷-2x⁵+x⁴ +4x³-x²-4 x +3	F₄₂	F42_Solutions.pdf	F42_Solutions.nb
2.	同上	同上	Another_F42.pdf	Another_F42.nb

　Mathematica で可解で既約な7次方程式を解く「未完成」プログラム

PDF	Notebook
solveSepticProgram.pdf	solveSepticProgram.nb

可解で既約な7次方程式のリスト（係数の絶対値が10以下)

solvableSepticEquations.txt

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