2025年02月21日更新

　SageMath で, Galois群を求める

[1] SageMathは無料の数学ソフトで，微分積分，線形代数，代数学といった広い範囲をカバーしています．Magma と異なり，対象は個人なので，マニュアルも少しは読みやすくPDFによる解説も多いです．しかし Mathematica などの有料ソフトとは比較になりません．こちらも日本語の本は無いですが，英語の本は数冊出版されています．どなたか日本語で代数学の初歩を書いて下さるとよいのですが．．．

Sage Tutorial-　Officialな解説で 300ページほどで SageMathについて　言語から微積分，代数学まで一通りのことを説明しています．
PythonとSageMath -大学生向けにとても分かりやすく書かれています．
なぜSageMathを使うべきなのか?‐「山椒は小粒でもピリリと辛い」を地で行くようなコンパクトでナイスな解説です．
SageManual-英語です．実は日本語のManualもあるのですが，まだ未完成で検索しても引っかからないことのほうが多いです．当分はこれを使うしか無いようです．探し物を見つけるのはかなり大変です．

SageMathは ver9 をインストールすることも，web上でインストール無しで使える SageMathCellを使うことも，はたまたスマホで SageMathアプリを使うことも出来ますが，私としてはインストールがおすすめです．理由は[3]に書いてあります．インストールの方法などは上の「PythonとSageMath」などに詳しいです．このあたりは Google すれば簡単なので省略します．

[2]私はSageMathは時々しか使っていないので，入門未満ですが，上記のサイトの助けを借りて，ガロア群を求めるプログラムを作成することができました．（「作成」というより「見つけた」というべきですが)
例えば f1(x)=x⁵x+15x+12 のガロア群を求めるには次の様に SageMathCellあるいは Jupyter notebook の入力欄に入力します．このとき，文末の「;」は不要ですが，Python　と同じくインデントセンシティブです．さらに SageMathはオブジェクト指向なので，多くのメソッドはインスタンスメソッドです．Galois群を求めるにも galois_group(f) などとは出来ません．インスタンスメソッドとして f.galois_group() としないと駄目です．なおMagmaと同様に，最初の1行で「xを有理数係数多項式の変数と定める」というおまじないが必要です．なおxの多項式に名前をつけることもできます．(R_.<x> などとします. ここで"-"と<x>の間にピリオドが必要です) またMagmaでは入力文の出力コマンドは全て出力されましたが，SageMathでは一番最後のコマンドの答えのみが出力されます．複数個出力したいときは，リストにして[ ]の中に入れる必要があります．さらに既約多項式でないとGalois群は求められません.

_.<x>= PolynomialRing (QQ)
f1 = x^5+15*x+12
G1=f1. galois_group ()
[G1.order(), G1.gens(), G1.list()]

位数は order , 生成元は gensを, リストは list を使います．出力は以下の様になります．

[20,,
 [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)],,
 [(),
  (1,5,4,3,2),
  (1,4,2,5,3),
  (1,3,5,2,4),
  (1,2,3,4,5),
  (2,5)(3,4),
  (1,5)(2,4),
  (1,4)(2,3),
  (1,3)(4,5),
  (1,2)(3,5),
  (2,4,5,3),
  (1,5,2,3),
  (1,4,3,5),
  (1,3,4,2),
  (1,2,5,4),
  (2,3,5,4),
  (1,5,3,4),
  (1,4,5,2),
  (1,3,2,5),
  (1,2,4,3)]]

[3]SageMathは for文, if文などの制御文も非常に豊富に持っています．それを使って f(x)=x⁵+ax³+bx²+cx+d (-11<a,b,c<11 ，0<d<11 a,b,c,d整数)のGalois群(21³*10=92610個!)を一度に計算させます．Magmaでも同様の計算をしましたが,その時は -1<a,b,c<4 ，0<d<6 でしたから，今度は約300倍の量です.(d>0の時しか考えていないのは f(x)=x⁵+ax³+bx²+cx+dとg(x)=x⁵+ax³-bx²+cx-dのGalois群が一致するからです.)

今度はインデントが必須です．

_.<x>= PolynomialRing (QQ)

for i in range(-10,11):
　for j in range(-10,11):
　　for k in range(-10,11):
　　　for m in range(1,11):
　　　　　f=x^5+ i*x^3+j*x^2+k*x+m
　　　　　if f is_irreducible():
　　　　　　 g=f.galois_group()
　　　　　　 if g.order()<60:
　　　　　　　　print([f,g.order(),g.gens()])

結果は次の様になります．位数が60より小さい場合に限って，f (x)の係数[a,b,c,d] と位数と生成元を出力させました．ご覧の様に C₅　は1つしかなく，D₅　が最も多く，F₂₀　は固まって点在していることが分かります．なお掛かった時間は私のPCで約2分( 腕時計で測りました)．私は SageMath ver.9　をインストールしているので CPU の速度が直接効いてきます．最近のPCならもっと速いのではないでしょうか？

同じ計算を SageMathCell でもやらせてみました．なんと一分経つと途中で「時間切れ」となってしまいました．最初の6つが表示されただけです．もしかすると1分以上は計算できない仕様かもしれません．SageMathで長い計算をやらせたい方は ver9でも良いので　ちゃんとインストールしたほうが良いみたいです．さらにインストールした場合は「TAB による入力補完」と「ファイル保存」が使えます．この違いは大きいです．

[[-10, 5, 10, 1], 5, [(1,2,3,4,5)]]
[[-10, 10, 5, 2], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-9, -4, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-9, 9, 4, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-8, -3, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-8, 8, 3, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-7, 7, 2, 5], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-7, 10, -5, 2], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-6, -1, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-6, 6, 1, 6], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-5, 0, 5, 3], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 5, 4], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 5, 5], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 5, 6], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 5, 7], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 5, 8], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 5, 9], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 5, 10], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-5, 0, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-5, 0, 10, 9], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-5, 5, 0, 7], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-5, 7, 8, 5], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-5, 10, -10, 8], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-4, 1, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-4, 4, -1, 8], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-3, -4, 8, 1], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-3, 1, 7, 5], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-3, 2, 6, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-3, 2, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-3, 3, -2, 9], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-2, 2, -3, 10], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-2, 3, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-2, 9, -2, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-1, -10, 8, 9], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-1, -4, 7, 2], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[-1, -2, 3, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-1, 2, -2, 1], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-1, 4, 4, 1], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-1, 4, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[-1, 7, -1, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[0, -10, 10, 2], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, -3, 2, 1], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[0, 0, 0, 2], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 3], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 4], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 5], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 6], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 7], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 8], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 9], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 0, 0, 10], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 5, -5, 8], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[0, 5, -4, 1], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[0, 5, 0, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[0, 5, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[0, 10, -10, 6], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[1, 3, 1, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[1, 6, 4, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[1, 6, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[2, 1, 2, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[2, 4, -1, 4], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[2, 5, -4, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[2, 7, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[2, 8, 9, 8], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[3, -1, 3, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[3, 6, -1, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[3, 8, 6, 9], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[3, 8, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[4, -3, 4, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[4, 4, 8, 8], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[4, 9, 10, 1], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[4, 9, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[5, -5, 5, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[5, 0, 5, 1], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 2], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 3], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 4], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 5], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 6], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 7], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 8], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 9], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 0, 5, 10], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 1, 9, 5], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 10, 0, 5], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[5, 10, 5, 4], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[5, 10, 10, 4], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[6, -7, 6, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[6, 4, -9, 4], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[7, -9, 7, 3], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[7, 3, 5, 5], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[7, 5, 5, 1], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[7, 5, 9, 5], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[7, 10, -6, 5], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[8, 2, 2, 2], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[8, 5, 6, 7], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[9, 5, 3, 9], 10, [(1,2,3,4,5), (1,4)(2,3)]]
[[10, 0, 0, 5], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]
[[10, 10, 10, 3], 20, [(1,2,3,4,5), (1,2,4,3)]]

[4]SageMathの利点は Galois群の計算だけではありません．様々な群論や代数学の演算が可能です．これは Mathematica の苦手な点なので重宝しています．例えば，Magmaで（x⁵ + 15x + 12）のGalois群を求めた時，Gal=<(2, 4, 5, 3),(2, 5)(3, 4),(1, 3, 5, 2, 4)>となりました．これからリストを作るのはまず PermutationGroup を作ってそのリストを表示させます．

G=PermutationGroup(['(2, 4, 5, 3)','(2, 5)(3, 4)','(1, 3, 5, 2, 4)'])
G.list()

出力は以下の通りです．

[(),
 (1,4,2,5,3),
 (1,2,3,4,5),
 (1,5,4,3,2),
 (1,3,5,2,4),
 (2,5)(3,4),
 (1,4)(2,3),
 (1,2)(3,5),
 (1,5)(2,4),
 (1,3)(4,5),
 (2,3,5,4),
 (1,4,5,2),
 (1,2,4,3),
 (1,5,3,4),
 (1,3,2,5),
 (2,4,5,3),
 (1,4,3,5),
 (1,2,5,4),
 (1,5,2,3),
 (1,3,4,2)]

次にF₂₀を生成元から作り，Gと同型か調べます．

F20=PermutationGroup(['(1,2,3,4,5)','(2,3,5,4)'])
G.is_isomorphic(F20)

True

確かに同型となります．これで確信が持てました．また Mathematica でガロア群を計算すると置換の表現(Galois流のGalois群)しか求まりません．しかし20個も要素があると手と頭で直すのは大変です．これらを現代の表記に直すことも出来ます．「PermutationGroupElement()」というクラスメソッドを使います．

例えば，解の置換K=[[1, 2, 3, 4, 5],[5, 1, 2, 3, 4],[4, 5, 1, 2, 3],[3, 4, 5, 1, 2],[2, 3, 4, 5, 1],[1, 5, 4, 3, 2],[5, 4, 3, 2, 1],[4, 3, 2, 1, 5],[3, 2, 1, 5, 4],[2, 1, 5, 4, 3],[1, 4, 2, 5, 3],[5, 3, 1, 4, 2],[4, 2, 5, 3, 1],[3, 1, 4, 2, 5],[2, 5, 3, 1, 4],[1, 3, 5, 2, 4],[5, 2, 4, 1, 3],[4, 1, 3, 5, 2],[3, 5, 2, 4, 1],[2, 4, 1, 3, 5]]が与えられた時，これを現代の書き方に直すには次の様にします．([ ]は Pythonの内包表記に当たります. またFは「リスト」になるので，それをPermutaionGroupを使って「置換群」に直しています．)

F=[PermutationGroupElement(K[i]) for i in range(0,len(K))]
G=PermutationGroup(F)
G.list()

出力は次の様になります．これが F₂₀と同型なことも容易に確かめることが出来ます．

[(),
 (1,5,4,3,2),
 (1,4,2,5,3),
 (1,3,5,2,4),
 (1,2,3,4,5),
 (2,5)(3,4),
 (1,5)(2,4),
 (1,4)(2,3),
 (1,3)(4,5),
 (1,2)(3,5),
 (2,4,5,3),
 (1,5,2,3),
 (1,4,3,5),
 (1,3,4,2),
 (1,2,5,4),
 (2,3,5,4),
 (1,5,3,4),
 (1,4,5,2),
 (1,3,2,5),
 (1,2,4,3)]

SageMathでは他にも群論の計算や，剰余類の作成，共役部分群の発見など色々な事ができます．今までに使用したコマンドと合わせて, ここ　にtextファイルで，まとめておきました．

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