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[例1]f(x)=x^5+15*x+12のGalois群の位数,生成元,リスト
_.<x>= PolynomialRing (QQ)
f1 = x^5+15*x+12
G1=f1. galois_group ()
[G1.order(),G1.gens(),G1.list()]


[例2]f(x)=x^5+ax^3+bx^2+cx+d(-11<a,b,c<11,0<d<11)のGalois群
_.<x>= PolynomialRing (QQ)

for i in range(-10,11):
  for j in range(-10,11):
     for k in range(-10,11):
        for m in range(1,11):
           f=x^5+ i*x^3+j*x^2+k*x+m
           if f.is_irreducible():
              g=f.galois_group()
              if g.order()<60:
                 print([[i,j,k,m],g.order(),g.gens()])

[例3]生成元からリストを作る
G=PermutationGroup(['(2, 4, 5, 3)','(2, 5)(3, 4)','(1, 3, 5, 2, 4)'])
G.list()

[例4]上のGがF20と同型か否かを調べる
F20=PermutationGroup(['(1,2,3,4,5)','(2,3,5,4)'])
G.is_isomorphic(F20)

[例5]Gが可解群か？
G.is_solvable()

[例6]Gの正規部分群
G.normal_subgroups()

[例7]ガロア流の群Kを現代の表記に直す
K=[[1, 2, 3, 4, 5], [5, 1, 2, 3, 4], [4, 5, 1, 2, 3], [3, 4, 5, 1, 2], [2, 3, 4, 5, 1],
 [1, 5, 4, 3, 2], [5, 4, 3, 2, 1], [4, 3, 2, 1, 5], [3, 2, 1, 5, 4], [2, 1, 5, 4, 3],
 [1, 4, 2, 5, 3], [5, 3, 1, 4, 2], [4, 2, 5, 3, 1], [3, 1, 4, 2, 5], [2, 5, 3, 1, 4],
 [1, 3, 5, 2, 4], [5, 2, 4, 1, 3], [4, 1, 3, 5, 2], [3, 5, 2, 4, 1], [2, 4, 1, 3, 5]]

F=[PermutationGroupElement(K[i]) for i in range(0,len(K))]#Fはリスト
G=PermutationGroup(F)#Gは置換群
G.list()

[例8]群の演算
G([3,4,5,1,2])#[1,2,3,4,5]を[3,4,5,1,2]に移すGの元.

[G[0],G[1],G[2],G[3]]#Gの最初の4個の要素

G[1]*G[2]#群の要素の積

G[1]^(-1)#G[1]の逆元

G[1]([1,2,3,4,5])#G[1]=(1,3,5,2,4)による[1,2,3,4,5]の置換

[G[i]([1,2,3,4,5]) for i in range(0,order(G))]#Gによる[1,2,3,4,5]の軌道

[例9]様々な群("named permutation groups"で検索し最初の項目)
対称群Sn->SymmetricGroup(n), 交代群An->AlternatingGroup(n), 2面体群Dn->DihedralGroup(n),
巡回群Cn->CyclicPermutationGroup(n), Kleinの4元群->KleinFourGroup()