Help

１.図形の描写(曲線)

曲線の「色」、「線種・太さ」、「塗りつぶしの有無」などは、あとで「編集」から変更できます.　（つまり最初に形だけ書いておいて後で塗りつぶすことが可能です.) さらにプロパティであらかじめ「色」、「線種・太さ」などを決めておくこともできます.

2.図形の描写(塗りつぶし)

塗りつぶしの「色」、「デザイン」、「塗りつぶしの有無」は、あとで「編集」から変更できます.　（つまりこのメニュー全体が実は不要かも?) さらにプロパティであらかじめ「色」、「デザイン」などを決めておくこともできます. なお曲線の「線種・太さ」は塗りつぶしにはまったく関係しません.

３.図形の描写(その他)

<関数リスト>

4.図形の描写(プロパティ)

「色の選択」は Swingを使っているので　多少じれったくなる時があるかもしれません.

5.図形の描写(編集)

<個別編集メニュー(ポップアップメニュ-)>
個別編集メニューを表示するには、メニューから「編集｣→「個別編集開始」と選んで画面上で右クリックしてください.

６.一次変換

高校で習う一次変換(２次元）とは, a,b,c,dを実数の定数とするとき

で表される変換です。平行移動は一次変換ではありません。この一次変換のイメージを掴んで欲しいと言うのがこのプログラムの主要目標です。

<式の入力>
DialogのTextFieldに直接、数字や数式を入力するか、「Palette」をクリックして入力パレットを開きそこからTextFieldに入力します。入力が済んだら「Transform」ボタンをクリックして実際に変換します。

a.テキストフィールドへの直接入力:

数字や関数を直接入力します. 回転変換では三角関数を使うと思いますが、角度の単位がラジアンのときは、小文字のsin,cos,tanを、角度の単位が度（°）のときは、先頭のみ大文字のSin,Cos,Tanを　使用してください。また掛け算は * 記号で、割り算は / 記号（どちらも半角）で表します.さらに円周率はpi（PI,Piでも可)です。よって は　sin(1/3*pi)　に, sin60°は　Sin(60)　となります。他の関数に関しては関数表をご覧ください.

b.パレットを使用しての入力:

ここでは、５種類の特別な一次変換の入力がマウスだけでできます。特別な変換とは以下の変換です。このうちshear変換は教科書には載っていませんが、一次変換の様子が良くわかるので、敢えて設定してあります。

(�@)原点中心のk倍の拡大・縮小

(�A)原点中心のθの回転

（�B)原点を通る直線 (y=tanθ) に関する対称変換

（�C)x軸に平行な方向へのつぶし(shear変換）

（�D)y軸に平行な方向へのつぶし(shear変換）

まずマウスでチェックボックスをクリックして選択します。その後 Scrollbarの目盛りを動かして、パラメータkとθの値を設定します。「入力」ボタンを押すとTextFieldに数式が入力されます。その後,「変換」ボタンをクリックしてください。

<アニメーション>
今回のヴァージョンではアニメーションを使えるようにしました．これは私が入っている数学ソフト研究会(Cabri研究会) の方々の作られたソフトに啓発されたためです．アニメーションの切り替えは右上のチョイスか　行列の操作ダイアログから出来ます．モードは4つあります．

(a)アニメーション無し

アニメーションはありません．

(b)(c)回転その１，回転その２

一次変換が回転行列や，回転と拡大の合成の時は　このモードを選ぶと良いです．大雑把に言うと，回転角の少ない方向に回転と拡大をしながらアニメーションしていくのが 「回転その１」で，反時計回りに回転と拡大をしながらアニメーションしていくのが「回転その２」です．ただしこれらは基底ベクトルが(1,0)と(0,1)のときで， それ以外の時は多少異なります．

細かく言うと変換が で　アニメーションのフレイム数が n とすると， (1,0)ベクトルと(a,c)ベクトルの間に(n-1) 個のベクトル(k=1,2,...,n-1)を， 長さ=||が等比数列になりかつ 偏角=arg() が等差数列になるように とります．同様に(n-1) 個のベクトル(k=1,2,...,n-1)を (0,1)ベクトルと(b,d)ベクトルの間に作成します．そして２つのベクトルを並べて　作った行列が　 A_k=(,)　ですが，この行列A_kによって変換したものが k番目のフレームになります．このフレームを順に表示してアニメーションを作っています．「その１」と「その２」の違いは偏角を図るときに　「絶対値が最小になるように計るか」か「反時計回りにとるか」のちがいです．なお, 一次変換が回転行列や，回転と拡大の合成の時は　各A_kも回転行列や　回転と拡大の合成となります．

(d)固有ベクトルの利用

実固有ベクトルが１つ以上有るときは　このモードを選ぶと良いです．従って　原点を通る直線に関する対称移動の時も　このモードを選ぶと良いです．そしてこのモードを使うときは　合わせて 基底ベクトル ,を固有ベクトルに取るとさらによく分かります．固有ベクトルを知るには　＜発展的な設定＞の＜固有値と固有ベクトル＞において求めることも出来ます．ここで求めた固有ベクトルを＜左側窓の設定＞において 基底ベクトルに取ることが出来ます．　

細かい話をすると 独立な固有ベクトルが ,の二つあり　その固有値がそれぞれ α,βであるとします．この一次変換は 基底を ,とすると B= 　で表されます．　そこで (1,0)ベクトルと (α,0)ベクトルの間を等分して　(n-1) 個のベクトル(k=1,2,...,n-1)を作ります．同様に (0,1)ベクトルと (0,β)ベクトルの間も等分して (n-1) 個のベクトル(k=1,2,...,n-1)もとります．そしてＢ_k=(,)とすると,　Ｂ_kは　基底が ,のときに k番目のフレームに移る変換を表す行列になります．このＢ_kを基底が(1,0)と(0,1)のときの行列A_kに変換して います．すなわち P=(,)としたとき A_k=PＢ_kP^-1です．

実固有ベクトルが　の一個しかないときも　２×２行列の時は と独立な任意のベクトルを 　 と取ったときに B= 　と表すことができます．そこで (1,0)ベクトルと (α,0)ベクトルの間を等分して　(n-1) 個のベクトル(k=1,2,...,n-1)を作ります．同様に (0,1)ベクトルと (k,α)ベクトルの間も等分して (n-1) 個のベクトル(k=1,2,...,n-1)もとります．そしてＢ_k=(,)とすると,　Ｂ_kは　基底が ,のときに k番目のフレームに移る変換を表す行列になります．このＢ_kを基底が(1,0)と(0,1)のときの行列A_kに変換して います．すなわち P=(,)としたとき A_k=PＢ_kP^-1です．このプログラムでは簡単のために は と直交するベクトルにとっています．

＜コントロールパネル＞
アニメーションのコントロールは　右側窓の上部のコントロールパネルから行うか，または　行列ダイアログの「発展的な設定」で「右側窓(変換画面)の設定」を選んで　より細かく調整することも出来ます．下の画面は「固有値アニメーション」の時です．左から順に「モード」，「現在の変換行列」，「巻戻し」，「プレイ」，「ポーズ」，「スライダー」，「早送り」，「スピード」を表します．「現在の変換行列」は　アニメーションの時の各フレイムに対応する変換です．従って時々刻々変わっていきます．「スライダー」はプレイ時には働きませんが，止まっている時やポーズの時は自由に動かすことが出来ます．このパネルでは「フレイム数」のみがコントロールできません．それには「発展的な設定」の方をお使いください．

＜発展的な設定＞
行列の操作窓の下側にあるチョイスから選択することが出来ます．4種類あります．

(a).右側窓(変換画面)の設定

-右側(変換窓)のプロパティを設定します．設定項目は「アニメーション」，「基底ベクトル(e1,e2)の像」と「その他」です．「アニメーション」は　アニメーションを有効にすると　右側窓の上部に　コントロールパネルが現れるので ここで操作することも出来ます．フレイム数はアニメーションのフレイムの数です．「その他」の項目にある「対称軸の表示」というのは　一次変換が原点を通る直線に関する対称移動のときに，対称軸を紺色で表示します．

(b).左側窓(オリジナル画面)の設定

-左側窓(オリジナル図形)のプロパティを設定します．設定項目は「基底ベクトル(e1,e2)の設定」と「その他」です．ここで基底ベクトルを設定して網の目を描くことが出来ます．とくに一次変換が２つの独立な実固有ベクトルを持っているときに　e1,e2を固有ベクトルに設定し，「固有値」でアニメーションすると一次変換の意味が良く分かります．実固有ベクトルを一つしか持たないときはそれと独立な「任意の」ベクトルを組み合わせて基底を作ってみてください．そしてやはり「固有値」でアニメーションをしてみてください．今度はずらし変換(shear)と拡大の合成になっていることが分かると思います．さらに 下のボタンをクリックすると.P^-1APの値を知ることも出来ます．

(c).固有値と固有ベクトル

-固有値と固有ベクトルを計算します．ここで求めた固有ベクトルを基底ベクトルに取ることが出来ます．この計算には自作のクラスを作ったので　実は　変な行列の時は答えがおかしくなります．変な答えが出てきたときは bug　だと疑ってみてください．(このようなことが起こるのはコンピュータの計算誤差の所為です．これを修正するのは超大変なので勘弁してください)

(d).P^-1APの計算．

-Dialog (b)で設定した基底ベクトル e1,e2 を並べて作った行列を P=(e1,e2)とし，Aを与えられた一次変換を表す行列としたとき，P^-1APを計算します．e1,e2ベクトルが固有ベクトルの時は P^-1AP は対角行列 (1-2成分と2-1成分がともに０の行列) となり, その成分は固有値です．固有ベクトルが一組しかないときは P^-1AP は三角行列 (1-2成分か2-1成分が０の行列)となります．

７.その他

a.このプログラムの目的

このプログラムは高校生の皆さんに一次変換のイメージを持ってもらうために作成しました。数学でもっとも大切なことの一つは「イメージを持つこと」です。「イメージ」を持っていないとむやみに解法や公式を丸暗記することになってしまうし、大学でも使い物になりません。何よりも「数楽」が「数が苦（く)」になってしまいます。(^_^;)　いろいろな絵を描いて変換しまくって欲しいと思います。

b.Javaな話

このプログラムはJavaで書かれています。Javaにはいろいろなヴァージョンがありますが,ここで使用したのは SDK1.41（Java2)です．(古い？) これと秀丸、および秀丸のマクロ(Java2MAC)を使って作成しました。ちなみにOSはWindowsXP,CPUはAthron2.19GHzです. 以前のヴァージョンを作ったときはSwingは本当に重く，ほとんど使用しませんでしたが，マシンを買い換えたのと Javaの動画機能が良くなったためにSwing もずいぶん速くなった気がします．従って今回は色々チョコマカと使わしてもらいました．主に使ったのは 「ColorChooser」 と 「グラフ入力パレット」と「スライダー」ですが，その他に JLabel, JCheckBox,JRadioButton も数箇所使いました．これらは　htmlを使って「P^-1AP」 などの文を表示させるための他に, 日本語とアルファベット混在の文をきれいに表示するため使用しました．実際　Swing のこの機能は余り知りませんでした．日本語とアルファベット混在の文は AWTのLabel　ではうまく表示されないのですが, Label を JLabel に換えるだけで きれいに表示されます． html を使う必要はありません．なお JButton は全く使っていません． どうも　JButtonは コンテナーが Swing でないとうまく行かないみたいです． そもそも「 Swing の部品を使う場合は　そのコンテナもSwing でないといけない」と本に書いてあったのですが，今回は無謀にも フレームは普通のAWTのFrameのままで　そこに直接 JスライダーやJラベルを埋め込んでいます．一応 私の環境ではこれで問題なく動いたのですが， 保障された使い方では無い ので環境によってはうまく動かないかもしれません．その場合はそっくり全体をSwing にしますので　ご連絡ください．私が今回全体を Swing にしなかったのは　Swing がかなり速くなったとはいえやはり　普通のAWTの方が軽いと思った所為です．それともちろん「面倒くさかった」のも大きな理由です．Swing にすれば速くなるならいざ知らず，ただ見栄えを良くするために　速度を犠牲にし かつまた 膨大な時間(多分２〜３日）を掛けるのは納得いかなかったのです．　今回は「見栄えが悪すぎる部分を直す」ために主に 使用しました．ご了承ください．

Graphicsでは Graphics2DとGeneralPathをたくさん使っています。左側の画面では XORモードを利用して描きました．一次変換は　Java2DのAffineTransform class を使用していますが、画面全体を一度に変換すると（これなら楽なのですが) ad-bc≒0のとき画面が霞んでしまうので図形ごとに変換しています．アニメーションは 最初はやはり XORモードを利用したのですが，ちらつきが抑えられないので Bufferd strategy を使いダブルバッファリングしています．最初はVolatileImageを使って自作してみたのですが，マニュアルどうりにやってもどうしても時々画面が黒くなってしまうので　色々試してこれに行き着きました．アニメーションの「固有値を使った変換」では　自分で固有ベクトルを求めるクラス（myEigenVectors)を作成したのですが，CASまで自作することは出来なかったので どうしても計算誤差が消せず 変態行列に対してはうまく求まりません．どなたかうまいクラスを作ってくださいませ．fieldが double[] vector1,vector2とdouble eigenvalue1,2 と int rank(=固有ベクトルの個数) を持ち コンストラクタが myEigenVectors(double a,double b,double c,double d)のクラスです．メソッドはありません. なお a,b,c,dは行列の成分です.

c.今後の発展

まずバグを減らすことです．(~_~;) 次にグラフを描写するときにString型をdouble型に変換していますが、これは私が4年以上も前に書いたプログラムを多少改良して利用しています。しかしこれには実は いろいろ不完全な点があります。一番の欠点はString型を多用している点です。これをStringBuffer型を使うように組み替えて、実行速度を上げ、さらにいろいろな例外を適切に投げるようにしたいと思います。時間が有れば　次は3次元で類似のソフトを作ってみたいと思います．　さらに将来の話としては、JavaでなくC++を使って書き直してみたいです。しかし、私はプログラミング言語は　Java,Perl,Basic(VisualでないBasic),TeX　しか知らないので、これはいつの話になることやら…( C++は,サンデープログラマーには難しいらしいですね。一方Pascalはマイナーで本を探すのにも苦労します。したがってDelphiはちょっと使う気になれません。)

d.連絡先

Version　window に　email アドレスが載っています．