連分数は無理数を分数で近似するときにとても有効です．すなわち分母の小さい項で近似することが出来ます．しかもこれには色々な表示があります．ここでは　通常の入れ子分数表示，長方形表示，フォードの円を簡単に紹介します．紹介は不要という方は下のリンクからすぐアプリをダウンロード，あるいはサイトからご覧下さい．Mathematica と GeoGebra で作りました．どちらも無料で見ることが出来ます．詳しい説明はWeBでは「数学展望（糸 健太郎)」が，書籍では　ブルーバックスの「数論入門」などがあります．ただ後者の方は図形的な表示はありません．一般的な整数論入門となっていて，沢山のトピックを取り上げています．

例えば 有理数 a=12/7 の連分数はテキスト表示では [1,1,2,2] です．「入れ子分数表示」と「長方形表示」は,次の様になります．GeoGebraのワークシートのスクリーンショットから取りました．（以下の図は全てスクリーンショット.) 連分数に直すには ユークリッドの互除法と同様に，割る数と割られる数を交互に変えながら，次々に割って作ります．ユークリッドの互除法はこちらをご覧下さい.

(互除法)

＝[1,2,2,2,2,...]（2がずーと続く)です．一般に2次の無理数（整数係数の２次方程式の解)の連分数は循環します．

第1〜第3項までの「入れ子分数表示」と「長方形表示」は次の様になります．第３項17/12=1.4166667...でもかなりに近いです．入れ子分数表示では「繰り返し」ですが，長方形表示では「自己相似」となります．即ち，一番下の左の長方形で，赤色と青色の長方形は相似です．これを見たいがために (Mathematicaで既に作ってあったにも関わらず） GeoGebra でも作成しました．GeoGebra では　拡大縮小が容易にできるので「マトルーシュカ人形」を目で見ることが出来ます．

有理数 p/q (p,q は互いに素な自然数) に関するフォードの円 C(p/q) は で定義されます．x軸と接し，分母が大きいと急速に半径は小さくなります．例えばC(3/7)とC(1/2)は接点のx座標は1/14しか変わりませんが， 半径は4:49（ほぼ1:12) です．フォードの円については「数学展望（糸 健太郎)」が非常に詳しくまた分かりやすいです．フォードの円には次の３つの基本性質があります．

2つの有理数q/pとs/rが |ps-qr|=1 を満たす時，これらの有理数は「隣り合う」と定義します．そして連分数の近似分数展開に置いて隣接２項は「隣り合い」ます． 例えばの近似分数展開は次の様になりますが，確かに隣接２項は「隣り合って」います． → （注: 分母と分子の漸化式を作って証明します．　「数学的帰納法で証明せよ」とかのヒントをつければ，大学入試でも出題できるレベルです.)

例えば0/1以上1/1以下で分母が10以下の有理数（ファレ‐分数）に対するフォードの円は上図のようになります．分母が10より大きい分数もすべて並べると，上の円とx軸の間にどんどん接しながら入っていきます． そして，実数aの近似分数に対するフォードの円を順に作っていくと，それらの円は順に接しながら，その接点のx座標が a に近づいていきます．下の図は の近似分数展開のフォードの円です．４つ目の C(17/12) は小さくて見えづらいですが，GeoGebra の拡大機能を使うと　よく見ることが出来ます．これは「マトルーシュカ」人形ではないですが，次々にA (,0) を囲むように（VIPをガードするかの様に）Aに近づいて行きます．基本定理(1)より，フォードの円は交わることがないので，このガードを破って他のフォードの円がAに近づくことは難しいです．これを使うと，最良近似定理とラグランジュの定理が簡単に証明されます．

例えば「最良近似定理」によると，分母が5以下の分数で に一番近い分数を α とすると， α＝7/5 （7/5は第３次の近似分数) となります．なぜなら C(7/5)は上図の青い円です．そして αの分母は5以下なのでC(α）のサイズは C(7/5)以上です．しかも(,0) は図の黄色領域にあり，フォードの円は交わらないからこの黄色領域にC(α）は存在しません． よってα＝7/5となります．少しだけ準備が必要ですが「ラグランジュの定理」も，やはり図形的に証明できます．詳しくは「数学展望」をお読み下さい．「数学展望」ではフォードの円に関して，もっともっと詳しく書いてあります．

上に上げた「入れ子分数表示」と「長方形表示」と「フォードの円」を「動的に」求めるワークシートを GeoGebra で作成しました．また「入れ子分数表示」と「長方形表示」を動的に求めるノートブックを Mathematica で作成しました．

• ワークシート は　GeoGebra のサイトで見ることが出来ます．ただし細かい操作はできずやや動作も重いです．ggb ファイルをダウンロードすれば細かい操作ができて動作も軽くなりますが，GeoGebra(無料)もダウンロードする必要があります．私の愛用しているのは Classic5 ですが，Classic6やスイートでも大丈夫と思います．ただ私は Classic6 や　スイートは IPAD　などのモバイル用だと思っています．

• ノートブックは Mathematica 用です．Mathematica のサイトで見ることも出来ますが，やはりやや重いです．やはりダウンロードして MathematicaかWolfram plyerで見る方が軽いです．「Wolfram player」 は無料でダウンロード＆インストールすれば，分数表示と長方形表示を「動的に」　（interactiveに)　求める事ができます．しかし Mathematica をお持ちの方とは異なり，コマンドラインは利用できません．2023年8月現在で「wolfram player」 は Windows,Mac,Linux そして iOS　用があります．(Android用はまだありません．）　Wolframによるやや詳しい説明(ダウンロードなど)もここ（Windows)とここ（Mac)にあります．

• ワークシートの連分数展開には GeoGebraのコマンド「continuedfraction」を使っていますが，これはバグだらけで，有理数のときの表示はおかしいし（有理数なのに最後の項が"1"となったり，２次の近似分数表示が３次となるなど），また連分数展開も次数が大きくなると間違っています(πなど)．でも「図の拡大」が容易にできるので，マトルーシュカ人形やフォードの円を最後まで見切ることが出来ます．一方ノートブックの方は，さすがMathematica という事で，私の知る限り正確です．「気楽なワークシート」vs「正確なノートブック」と言えます．ただイメージを掴むには ワークシートでも十分です．
• 互除法と長方形表示は密接な関係があります．互除法に関してはこちらもご覧下さい．
• プログラムに間違いがあればご連絡を頂けると有り難いです．　　（2023年8月26日　生越　茂樹)

Contents

1.GeoGebra のサイト	連分数の長方形表示
	連分数とフォードの円
	フォードの円とファレ‐数列
	ユークリッドの互除法
2.Mathematica　のサイト	連分数の長方形表示と入れ子分数表示
3.ggb file Download	連分数＆フォードの円全て(zipped)
4.notebook（コマンドライン含む) Download	連分数の長方形表示と入れ子分数表示
notebook（モバイル版) Download	同上（mobile用)
GeoGebra Download	GeoGebra Download
Wolfram Player download	wolfram player

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