(x^5) + 15 x + 12 の厳密解  with Mathematica 13.3

part2. Galois群が(Subscript[F, 20]) の方程式　　                 2025 年2月  by  　(HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

§0.  [準備]  原始元, 分解方程式, ガロア群

part1 より，輸入

ClearAll["`*"];  f[x_]=x^5+15x+12;

f(x)=0 の解を x1, x2, x3, x4, x5 (part2 では,  α,β... などの代わりに x1,x2,...を利用する).  f(x) の原始元をv = x1+ 4 x2 + 3 x3 + 2 x4 + 5 x5  ,  vの最小多項式をV[x] とすると

{x1,x2,x3,x4,x5}={(-861938718370242204295608211266295749515640000000-684433253827819307591593725116638734918408000000 v+56453863409949377565172037271904795583245800000 (v^2)+19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)-7978466780980478967648684319768154297604375000 (v^4)-1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)+454647992046551629938068763322137557640847500 (v^6)+39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)-13776327979571728133852521864693297147931250 (v^8)+182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)-82512570458629569770475904931084945494875 (v^10)-16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)+4797148900075425726389295085994209777500 (v^12)-306835892721536375300648923135537216500 (v^13)+101218323101025844900848255798867235650 (v^14)+2862937646806542762759958481564843970 (v^15)-733123275960863452231815446003913250 (v^16)+86517962663944011222846746522076950 (v^17)-24177861079325177445822443717163795 (v^18)+109727114703154096983447147223069 (v^19))/2041681628667118655087624863780198236925920000000,(288962986598211429293764452721718394637080000000-174012846661039643819687509171589175686928000000 v-60001378726542522459935163913547847315185400000 (v^2)+19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)+6580063880550445698229626882944152376275125000 (v^4)-1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)-316671295975123912024987067169784443651517500 (v^6)+39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)+6067999698672491109590008894958502641868750 (v^8)+182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)+96204031481264240681635473494882788795875 (v^10)-16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)-1239924706348598058510108525628473142500 (v^12)-306835892721536375300648923135537216500 (v^13)-55503894727181654479874499299363568450 (v^14)+2862937646806542762759958481564843970 (v^15)+49098725383619996457776558599182750 (v^16)+86517962663944011222846746522076950 (v^17)+10156737918838949953161614612963835 (v^18)+109727114703154096983447147223069 (v^19))/1020840814333559327543812431890099118462960000000,(17682965821657195956640032738346434240000+3956628498066676567522910744266347000000 (v^2)-322616275388652119062693539383779437000 (v^4)+11125734870376676599102217027958772500 (v^6)+102128776784474922892498560974779050 (v^8)-6842221945748661717492745300989525 (v^10)-144277777424300821652509703231340 (v^12)+609503629255743300863141717310 (v^14)+39531224767096432236733301402 (v^16)+240601146642007769540230179 (v^18))/63558743528095155461086764482499108480000,(288962986598211429293764452721718394637080000000+174012846661039643819687509171589175686928000000 v-60001378726542522459935163913547847315185400000 (v^2)-19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)+6580063880550445698229626882944152376275125000 (v^4)+1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)-316671295975123912024987067169784443651517500 (v^6)-39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)+6067999698672491109590008894958502641868750 (v^8)-182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)+96204031481264240681635473494882788795875 (v^10)+16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)-1239924706348598058510108525628473142500 (v^12)+306835892721536375300648923135537216500 (v^13)-55503894727181654479874499299363568450 (v^14)-2862937646806542762759958481564843970 (v^15)+49098725383619996457776558599182750 (v^16)-86517962663944011222846746522076950 (v^17)+10156737918838949953161614612963835 (v^18)-109727114703154096983447147223069 (v^19))/1020840814333559327543812431890099118462960000000,(-861938718370242204295608211266295749515640000000+684433253827819307591593725116638734918408000000 v+56453863409949377565172037271904795583245800000 (v^2)-19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)-7978466780980478967648684319768154297604375000 (v^4)+1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)+454647992046551629938068763322137557640847500 (v^6)-39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)-13776327979571728133852521864693297147931250 (v^8)-182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)-82512570458629569770475904931084945494875 (v^10)+16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)+4797148900075425726389295085994209777500 (v^12)+306835892721536375300648923135537216500 (v^13)+101218323101025844900848255798867235650 (v^14)-2862937646806542762759958481564843970 (v^15)-733123275960863452231815446003913250 (v^16)-86517962663944011222846746522076950 (v^17)-24177861079325177445822443717163795 (v^18)-109727114703154096983447147223069 (v^19))/2041681628667118655087624863780198236925920000000};

V[x_]=2371842000000000+79290090000000 (x^2)-10682052390000 (x^4)+850670100000 (x^6)-34046433000 (x^8)+523980000 (x^10)+9587025 (x^12)-90000 (x^14)-5370 (x^16)+(x^20);

f(x) のガロア群を Gal とすると，現代の表記では
Gal={Id, (2,4,5,3), (2,3,5,4), (2,5)(3,4), (1,2)(3,5), (1,5,4,3,2),
 (1,3,4,2), (1,4,5,2), (1,2,4,3), (1,3)(4,5), (1,4,2,5,3), (1,5,2,3), (1,2,5,4),
 (1,5,3,4), (1,4)(2,3), (1,3,5,2,4), (1,2,3,4,5), (1,4,3,5), (1,3,2,5), (1,5)(2,4)}

ここでσ=(1,2,3,4,5),τ=(2,3,4,5)とおくと
gal={Id, (τ^3), τ, (τ^2), (τ^2) (σ^4), (σ^4),(τ^3) (σ^4),τ (σ^4),(τ^2) (σ^3), (σ^3), (τ^3) (σ^3),(τ^3) (σ^2),τ (σ^2), (τ^2) (σ^2),  (σ^2), σ, (τ^3) σ,τ σ,(τ^2) σ}=<τ,σ>≃ (Subscript[C, 4]) (Subscript[C, 5])

このように (Subscript[C, 4]) (Subscript[C, 5])の形で書ける群を (Subscript[F, 20])(Frobenius group)というらしい．
分解列は   (Subscript[F, 20])⊳ (Subscript[D, 5]) ⊳ (Subscript[C, 5]) ⊳ {Id}  
ただし (Subscript[C, n])は巡回群，(Subscript[D, n ])は2面体群で
 (Subscript[C, 5])=<σ>, (Subscript[D, 5])=(Subscript[C, 5])+(τ^2)(Subscript[C, 5])
 (Subscript[F, 20])= (Subscript[D, 5])+τ(Subscript[D, 5])=(Subscript[C, 5])+τ(Subscript[C, 5])+(τ^2)(Subscript[C, 5])+(τ^3)(Subscript[C, 5])≃ (Subscript[C, 4]) (Subscript[C, 5])

§１.Lagrange分解式 s1,s2,s3,s4 の5乗の値を求める

1-1. Lagrange分解式

(Subscript[C, 5]) ⊳{Id}の部分に注目し，ラグランジュの5次分解式をつくる .(ζは1の原始５乗根のひとつ．)
このとき，V(v)と円分方程式 (v^4)+(v^3)+(v^2)+v+1 で割った余りを考える．(PolynomialMod)

s0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5//PolynomialMod[#,V[v]]&;
s1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ x4 +ζ^3 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s3=x1+ζ^3 x2+ ζ x3 +ζ^4 x4 +ζ^2 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s4=x1+ζ^4 x2+ ζ^3 x3 +ζ^2 x4 +ζ x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;

解と係数の関係より s0 = 0. 　また以下の性質が成り立つ．

(#)({{{, ({{s1をσで移すと s1→(ζ^4)s1,, τで移すと s1→s3,(τ^2)で移すと s1→s4,}, {s2をσで移すと s2→(ζ^3)s2,, τで移すと s2→s1,(τ^2)で移すと s2→s3,}, {s3をσで移すと s3→(ζ^2)s3,, τで移すと s3→s4,(τ^2)で移すと s3→s2,}, {s4をσで移すと s4→ ζs4,, τで移すと s4→s2,(τ^2)で移すと s4→s1,}})}})

τは 分解式を「 s1→s3→s4→s2→s1」 のように移し，σは 「 s1→(ζ^4)s1→→(ζ^3)s1→→(ζ^2)s1→ζs1→s1」 のように移す．
さらに 同型写像 μ: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.   μはτと同じように分解式を移す.                        
                            (by μ) s1→s3→s4→s2 →s1⋯         (by (μ^2)) s1↔s4，s2↔s3

1-2.  t1=(s1^5)+(s4^5), t2=(s2^5)+(s3^5), t3=(s1^5) (s4^5), t4=(s2^5) (s3^5) の値を求める

t1=(s1^5)+(s4^5), t2=(s2^5)+(s3^5),t3=s1s4, t4=s2s3 とおく．(#)より  t1,t2,t3,t4は ((σとτ)^2)で不変．故に t1,t2,t3,t4は (Subscript[D, 5])で不変．さらに τ により t1↔t2 かつ t3↔t4 であるから，(t1+t2), (((t1-t2))^2), (t1-t2)(t3-t4), (t3+t4), (t3*t4) はτで不変で， (Subscript[F, 20])= (Subscript[D, 5])+(Subscript[τD, 5]) だから, これらは (Subscript[F, 20 ])で不変.  故に Q(ζ)に入る．「単純計算」すると，

t1=s1^5+s4^5;t2=s2^5+s3^5;t3=s1*s4;t4=s2*s3;

t1+t2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
(t1-t2)^2 //PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
(t1-t2)(t3-t4)//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t3+t4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t3*t4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

(Sqrt[225000000])=15000だから，上の計算より　　
                   ({{{, ({{t1-t2, =±15000}, {t1+t2 , =7500}, {(t3,t4), =(±15,∓15)(複号同順)}, {(t1-t2)(t3-t4), <0}})}})
故に(t1,t2,(t3^5),(t4^5))=((s1^5)+(s4^5),(s2^5)+(s3^5),(s1^5)(s4^5),(s2^5)(s3^5))=(11250,-3750,-759375,759375)または(-3750,11250,759375,-759375)-(1)

【ひとりごと】(Subscript[Galois群がC, 5])のときは「単純計算」で ((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)が求まった.(Q(ζ)に入っていた). 
(Subscript[D, 5])のときは「単純計算」で (((Subscript[s, 1])^5)+((Subscript[s, 4])^5)),(((Subscript[s, 2])^5)+((Subscript[s, 3])^5)),(Subscript[s, 1])(Subscript[s, 4]),(Subscript[s, 2])(Subscript[s, 3])が求まった.(Q(ζ)に入っていた). これから２次方程式を作ることにより ((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)が Q(ζ)+(Sqrt[Q(ζ)])の形で求まった．
（正式な書き方では無いです.  さらに5乗根を取ると  (Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])と (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4])が求まる)

この (Subscript[F, 20])の例では((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)がたまたま有理数となっていますが，これは偶然だと思います. 一般には (Subscript[t, 1])= ((Subscript[s, 1])^5)+((Subscript[s, 4])^5)  , (Subscript[t, 2])= ((Subscript[s, 2])^5)+((Subscript[s, 3])^5) は「単純計算」では求まりません．

「単純計算」で求まるのは  ((((Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 2])))^2)と ((Subscript[t, 1])+(Subscript[t, 2])) だから，(Subscript[t, 1])と(Subscript[t, 2]) が既に Q(ζ)+(Sqrt[Q(ζ)])の形になっています．そこから更に２次方程式を解くので ((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)は　Q(ζ)+(Sqrt[Q(ζ)])+(Sqrt[Q(ζ)+(Sqrt[Q(ζ)])])の形になっているはずです．

1-3.  (s1^5), (s2^5),(s3^5),(s4^5) の値を求める

p=(s1^5),q=(s2^5),r=(s3^5),s=(s4^5)とおくと(1)より，(ア)または(イ)のいずれか

(ア)   ({{{, ({{   p+s, =11250}, {      ps, =-759375}})}})  かつ   ({{{, ({{   q+r, =-3750}, {      qr, =759375}})}})       (イ)  ({{{, ({{   p+s, =-3750}, {      ps, =759375}})}})  かつ   ({{{, ({{   q+r, =11250}, {      qr, =-759375}})}})
 
 pとs, qとrを解に持つ2次方程式を作って解けば, p,q,r,sが求まる． ここではSolve で一度に求め[pqrs]に入れる．

pqrs={p,q,r,s}/.Solve[(p+s==11250&&p s==-759375&&q+r==-3750&&q r==759375)||(p+s==-3750&&p s==759375&&q+r==11250&&q r==-759375),{p,q,r,s}]//Simplify

§2. (s1 (s2^2)+(s3^2) s4)と((s1^2) s3+s2 (s4^2)) の値を考慮し s1,s2,s3,s4 の値を求める

((s1^5),(s2^5),(s3^5),(s4^5))の値は 8組あるがこれらは順序が異なっているだけで，先頭の順序を(p,q,r,s)と改めておいた時, (p,q,r,s),(p,r,q,s),(s,q,r,p),(s,r,q,p)と(q,p,s,r),(q,s,p,r),(r,p,s,q),(r,s,p,q)の8通りとなる．ここで s0,s1,s2,s3,s4の定義とs0=0から

(##)({{{, ({{x1=1/5(s1+s2+s3+ s4)
x2=1/5((ζ^4)s1+(ζ^3)s2+(ζ^2)s3+ζ s4)
x3=1/5((ζ^3)s1+ζ s2+(ζ^4) s3+(ζ^2) s4)
x4=1/5((ζ^2)s1+(ζ^4)s2+ζ s3+(ζ^3) s4)
x5=1/5(ζ s1+(ζ^2)s2+(ζ^3)s3+(ζ^4) s4), }, {, 
}})}})
w1=s1 (s2^2)+(s3^2) s4 ,  w2=(s1^2) s3+s2 (s4^2)とおく．w1とw2 は ((σとτ)^2) で変わらないので，(Subscript[D, 5]) の固定体に入る． さらに w1 と w2は  τ によって, それぞれ w2 と w1 に入れ替わる.  故に  w1+w2 と (((w1 - w2))^2) は (Subscript[F, 20  ])の固定体Q(ζ)に入る．「単純計算」して

w1=s1 s2^2+s3^2 s4;w2=s1^2 s3+s2 s4^2;
w1+w2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
(w1-w2)^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

上の計算より w1+w2=0かつ(((w1-w2))^2)=900 だから，
(w1,w2)=(s1(s2^2)+ (s3^2)s4, (s1^2)s3+ s2 (s4^2))=(±150,∓150)(複号同順)--(2)

「((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)が全て実数のときは,(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])が全て実数と仮定しても一般性を失わない」（補足3)故に
((s1^5),(s2^5),(s3^5),(s4^5))の値の８組から((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]))の組が8組求まり，そのうち(2)を満たすものを見つけると次の４組となる．

realRoot[p_]:=Sign[p]Abs[p]^(1/5)(*実数に対し5乗根を求めるコマンドを作成*)
realRoot/@pqrs;
s1s2s3s4=Select[%,(FullSimplify[ #[[1]]*#[[2]]^2+#[[3]]^2*#[[4]]]==150&&FullSimplify[#[[1]]^2*#[[3]]+#[[2]]*#[[4]]^2]==-150)||FullSimplify[ #[[1]]*#[[2]]^2+#[[3]]^2*#[[4]]]==-150&&FullSimplify[#[[1]]^2*#[[3]]+#[[2]]*#[[4]]^2]==150&]

§3．x1,x2,x3,x4,x5 の値を求める

これらの４組の先頭の解を {s1, s2,s3,s4}とおくと，置換 τ により s1→s3→s4→s2 と移るので{s1, s2,s3,s4},  {s3,s1,s4,s2}, {s4,s3,s2,s1} ,{s2,s4,s1,s3}, は{x2,x3,x4,x5}の順序を変えるだけ.　従って上の４つの{s1, s2,s3,s4}の値は同じ解集合を与える．(このことから §1の(p,q,r,s)の8組の解は実質2種類で，§2でその内の一つを選んだだけということも分かる．) 　故に{s1, s2,s3,s4}として先頭の解を選んでよい．これから方程式の解 x1’,x2’..は次の様に求まる.

(このセルはとてもバグりやすいです．その場合は「評価を放棄」し「このセルのみ評価」して下さい)

{s1',s2',s3',s4'}=s1s2s3s4[[1]];
ζ=Cos[2Pi/5]+I Sin[2Pi/5];(*偏角は2π/5に設定*) 

x1'=1/5(s1'+s2'+ s3'+ s4')//Simplify
x2'=1/5(ζ^4s1'+ζ^3 s2'+ζ ^2 s3'+ζ s4')//Simplify
x3'=1/5(ζ^3s1'+ζ s2'+ζ^4 s3'+ζ^2s4')//Simplify
x4'=1/5(ζ^2s1'+ζ^4 s2'+ζ s3'+ζ^3 s4')//Simplify
x5'=1/5(ζs1'+ζ^2 s2'+ζ ^3 s3'+ζ^4 s4')//Simplify

近似値を使い f (x) = 0 の解と比較する．まず 上で求めた解の近似値は

{Dynamic[N[x1']],Dynamic[N[x2']],Dynamic[N[x3']],Dynamic[N[x4']]}

次に f (x) = 0 の解の近似値を求めると

x/.NSolve[f[x]==0,x]

ご覧のように少なくとも小数点以下5桁までは一致する．また少し時間は掛るが，厳密に計算しても f (x1)=0 が確かめられる. (興味のある方はコメントを外して実行してみてください)

(*f[FullSimplify[x1']]//FullSimplify*)

虚数根の方は「とても」時間がかかるので省略する．なお実数根x1と虚数根x2を 累乗根を使って表すと，

Dynamic[x1']//TraditionalForm//Print

Dynamic[x2']//TraditionalForm//Print

§4．まとめ

Gal=(Subscript[D, 5])  の有理数係数５次方程式(4次の係数は0)に対する解法のまとめです．

[Step1] 5次のLagrangeの分解式 (Subscript[s, 0]),(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]) を作る (ζ は１の原始５乗根の一つ)

({{{, ({{(Subscript[s, 0]), =(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]) (=0)}, {(Subscript[s, 1]), =(Subscript[x, 1])+ζ(Subscript[x, 2])+(ζ^2) (Subscript[x, 3])+(ζ^3) (Subscript[x, 4])+(ζ^4) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 2]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^2) (Subscript[x, 2])+(ζ^4) (Subscript[x, 3])+ζ (Subscript[x, 4])+(ζ^3) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 3]),  =(Subscript[x, 1])+(ζ^3) (Subscript[x, 2])+ζ (Subscript[x, 3])+(ζ^4) (Subscript[x, 4])+(ζ^2) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 4]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^4) (Subscript[x, 2])+(ζ^3) (Subscript[x, 3])+(ζ^2) (Subscript[x, 4])+ζ (Subscript[x, 5])}})}}) ⇒   ({{{, ({{(Subscript[x, 1]), =(Subscript[s, 1])+(Subscript[s, 2])+(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 2]), =(ζ^4)(Subscript[s, 1])+(ζ^3)(Subscript[s, 2])+(ζ^2) (Subscript[s, 3])+ζ (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 3]), =(ζ^3)(Subscript[s, 1])+ζ(Subscript[s, 2])+(ζ^4) (Subscript[s, 3])+(ζ^2) (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 4]),  =(ζ^2)(Subscript[s, 1])+(ζ^4)(Subscript[s, 2])+ζ (Subscript[s, 3])+(ζ^3) (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 5]), =ζ(Subscript[s, 1])+(ζ^2)(Subscript[s, 2])+(ζ^3) (Subscript[s, 3])+(ζ^4) (Subscript[s, 4])}})}})
 
   ここで 次の関係が成り立つ.

(#)({{{, ({{(Subscript[s, 1])をσで移すと (Subscript[s, 1])→(ζ^4)(Subscript[s, 1]),, τで移すと (Subscript[s, 1])→(Subscript[s, 3]),(τ^2)で移すと (Subscript[s, 1])→(Subscript[s, 4]),}, {(Subscript[s, 2])をσで移すと (Subscript[s, 2])→(ζ^3)(Subscript[s, 2]),, τで移すと (Subscript[s, 2])→(Subscript[s, 1]),(τ^2)で移すと (Subscript[s, 2])→(Subscript[s, 3]),}, {(Subscript[s, 3])をσで移すと (Subscript[s, 3])→(ζ^2)(Subscript[s, 3]),, τで移すと (Subscript[s, 3])→(Subscript[s, 4]),(τ^2)で移すと (Subscript[s, 3])→(Subscript[s, 2]),}, {(Subscript[s, 4])をσで移すと (Subscript[s, 4])→ ζ(Subscript[s, 4]),, τで移すと (Subscript[s, 4])→(Subscript[s, 2]),(τ^2)で移すと (Subscript[s, 4])→(Subscript[s, 1]),}})}})

τ は 分解式を「(Subscript[s, 1])→(Subscript[s, 3])→(Subscript[s, 4])→(Subscript[s, 2]) →(Subscript[s, 1]) 」 のように移し，σは 「 (Subscript[s, 1])→(ζ^4)(Subscript[s, 1])→→(ζ^3)(Subscript[s, 1])→→(ζ^2)(Subscript[s, 1])→ζ(Subscript[s, 1])→(Subscript[s, 1])」 のように移す．

(Subscript[t, 1])=((Subscript[s, 1])^5)+((Subscript[s, 4])^5), (Subscript[t, 2])=((Subscript[s, 2])^5)+((Subscript[s, 3])^5), (Subscript[t, 3])=(Subscript[s, 1])(Subscript[s, 4]), (Subscript[t, 4])=(Subscript[s, 2])(Subscript[s, 3]) とおく．
 (Subscript[t, 1])+ (Subscript[t, 2]), ((((Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 2])))^2) ,((Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 2]))((Subscript[t, 3])-(Subscript[t, 4])), ((Subscript[t, 3])+(Subscript[t, 4])), ((Subscript[t, 3])(Subscript[t, 4]))  は , (Subscript[F, 20])の固定体 Q(ζ)に入り ,これらの値は「単純計算」で求まる．２個の２次方程式を解くことにより，(Subscript[t, 1]), (Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, 4]) の値が求まる．さらにもう一度，２個の２次方程式を解いて(((Subscript[s, 1])^5), ((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5), ((Subscript[s, 4])^5)) の値が 8組求まる．(実質２組)
 ここでおそらく「 ((Subscript[s, 1])^5), ((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5), ((Subscript[s, 4])^5) は全て実数」（補足1）である．その場合「 (Subscript[s, 1]), (Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]), (Subscript[s, 4]) は全て実数」となるように (Subscript[s, 1]), (Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]), (Subscript[s, 4])を選んでも一般性を失わない.（補足2)   このとき((Subscript[s, 1]), (Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]), (Subscript[s, 4]))の値の組は簡単に求まる.

[Step2]((Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)+((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4])) と (((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)) の値を考慮し (Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]) の値を求め，さらに (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5])を求める．

(Subscript[w, 1])=(Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)+((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4 ]),(Subscript[w, 2])=((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)とおくと, ((Subscript[w, 1])+(Subscript[w, 2])),((((Subscript[w, 1])-(Subscript[w, 2])))^2)は(Subscript[F, 20])の不変体 Q(ζ)に入る．故に 「単純計算」でこれらの値は求まる．これから２次方程式を解くと (Subscript[w, 1])(Subscript[とw, 2])の値が求まる．「Step1」で求めた((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]))のうち，これらの条件を満たすものは，実質１組になる．

§5．補足

[補足１]((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)  は 全て実数となる．（予想）

まだ証明できていない．しかし，Galois群が  (Subscript[F, 20])となる有理数係数の方程式を20個ほど解いたが，ひとつ残らず((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)は実数だった．従ってかなり信憑性は高いが，まだ証明できてない．証明ができれば（または見つければ） 載せます. ちなみに係数の絶対値が10以下の範囲では，(Subscript[Galois群がF, 20])となる方程式は，(Subscript[Galois群がＤ, 5])となる方程式と比べると 1/3 以下しかない．(Subscript[C, 5])は一個もない．係数の絶対値の制限を外しても，可解群のほとんどは (Subscript[D, 5])なのだろうか？

[補足2]((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)  が 全て実数のとき，(Subscript[s, 1]) , (Subscript[s, 2]), (Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])  を実数としても一般性を失わない

ガロア群が (Subscript[D, 5])のときの，[補足3] の証明と同じ

[補足3]((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)  が 全て実数のとき，実数解は1個だけ

ガロア群が(Subscript[D, 5])のときの，[補足4] の証明と同じ

【参考文献/サイト】次のサイトや文献を参考にさせて頂きました．ありがとうございます．

({{{, ({{1.(HyperlinkURL["可解な5次方程式について(大迎 規宏氏)", https://hyogo-u.repo.nii.ac.jp/record/5251/files/ZD30301003.pdf]), □}, {2.(HyperlinkURL["方程式のガロア群(松田修氏)", https://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galois_equations.pdf]), □}, {3.(HyperlinkURL["ガロア理論を使って方程式を解いたことがありますか(scruta氏)", https://calgal.info/]), □}, {4.(HyperlinkURL["ペンギンは空を飛ぶ- 5次方程式の解を巡る旅 (peng225氏)", https://peng225.hatenablog.com/entry/2018/01/25/200421]), □}, {5.(HyperlinkURL["Period-Mathmatics 可解な5次方程式の代数的解法", https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2019/05/11/164456]), □}, {(以下は書籍), □}, {6.(HyperlinkURL["ガロアの群論(中村亨氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%BE%A4%E8%AB%96%E2%80%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%81%9C%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%81%AA%E3%81%8B%E3%81%A3%E3%81%9F%E3%81%AE%E3%81%8B-%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-%E4%B8%AD%E6%9D%91-%E4%BA%A8/dp/4062576848/ref=sr_1_1?adgrpid=53001801813&dib=eyJ2IjoiMSJ9.rDFwg-m8XukNrR90DvZJTrOuZ0RIbpH6mWvOM64KlnvQvxJQxrWvX3NyChoQOQLZm2sD_fJlV0ljUFqiHTlm49fbQyUwnTP5dPN7lzGeVgEFcJt8GDZCWCW2vsO6_ItB8zjfn8Vx6GKkH3pCL_hJizTZGbemmi-s-zjaNOXoeFbyu9sRPC62aeCAVexKhJP1TW2X1i0o1m0jcuz4yoU3ZlbjEooDhiz5h_kFqK30we9FYG2_zveqV6dtZFd2tvv3eKu-P0a2JZMbbFAS0Wz4rUOLPlK6yGBQkQTNAuEICqhvxg-CPjdCvhc-kWquVEokcwoNTnRlWGULAliToJFDnnESdQvQuW73IZwzov1pifuGJ85fERR2GmOmgGYg_mVA0GbIPeMXh470TzEdk07zq8_LHV30s8XJ1yYRGo_nJdPfiRQiF-4MCRRPY-pDAEeB.JeCkjB_ZPG46AYt8vvKEqIJYe3craliwzEfHkOgfRAA&dib_tag=se&hvadid=679072441399&hvdev=c&hvlocphy=1009277&hvnetw=g&hvqmt=e&hvrand=15120444813952387024&hvtargid=kwd-333087534169&hydadcr=13894_13573117&jp-ad-ap=0&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%BE%A4%E8%AB%96&mcid=d840888251fb3c52925a095017da9ed0&qid=1739152791&sr=8-1]), □}, {7.(HyperlinkURL["ガロワ理論最短コース(梶原 健氏)", https://www.amazon.co.jp/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E3%82%92%E5%AD%A6%E3%81%B6-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9-%E6%A2%B6%E5%8E%9F%E5%81%A5/dp/4535787018/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=101QXCSB01O7C&dib=eyJ2IjoiMSJ9.Dsna8TMhaDUsGMKsdDcy_lzBUCqGVSdqMs2-UaoC9DzGjHj071QN20LucGBJIEps.GA2FXcKaTsVSUiHLXNg3UwkIrry24xzWhLxKMCLfKjM&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9&qid=1739153189&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9%2Caps%2C169&sr=8-1 ]), □}, {8.(HyperlinkURL["ガロア理論の頂きを踏む(石井俊全氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%82%92%E8%B8%8F%E3%82%80-BERET-SCIENCE-%E7%9F%B3%E4%BA%95-%E4%BF%8A%E5%85%A8/dp/4860643631/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=6U6O5KFZFB1I&dib=eyJ2IjoiMSJ9.BBAXosCmu-2sx1rv4ye9IFuHi1gCxQwHbv80TiR0qzl7Z8pa2CRIw4uD12lLEJopehlwLWxTxCJoS6x8-gYtB3aVGyvFmrf8gKf4fSQfUGfvaofVRWoswiYxS0pXi4hYyZtpXgH5aV08YNjzTBgVPQ.pU6hybJJdLh8sAa44zpuoAlf4GxpsWmmejfjTHCm9VA&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%81%8D&qid=1739153303&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%81%8D%2Caps%2C166&sr=8-1]), □}, {9. (HyperlinkURL["ガロア理論「超」入門(小林吹代氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%80%8C%E8%B6%85%E3%80%8D%E5%85%A5%E9%96%80-%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%A8%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%8B%E3%82%89%E8%80%83%E3%81%88%E3%82%8B-%E7%9F%A5%E3%82%8A%E3%81%9F%E3%81%84-%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9-%E5%B0%8F%E6%9E%97/dp/4774185744/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=3CJFLGVWBGJ0N&dib=eyJ2IjoiMSJ9._iyPRqsDdtiH9rjS14CnSLMZLTBwnCel0FABjlt0goQ7VaZ3I-wbKkTr0VRbtC94IIF5hQjbbN8Kz_8sDPaQaPEx2v9JZhxFEPyOBRDWKcCo7_MVjhEiW3ZDrES_j8DtwPK7x6QqRQJXlybfokiTULxCWkVHabVuBLFWAdStu_s_wbCTRnpz2z2BHXLF0qrVCotnGDlIWPJtCZu7rkLQ0QZ5YEbo8uqZqksM7Yr22_yX6D6C6gYdcHXCxe0Wjks5JpgEDuKQxQR7NiHHXQB-pxpHI6t5YliSIgLJ9bs_R5oPIy5MpMzP_iWYKB_Y7NsZfoaE4dMOuD3vfQhgEIWoOyq4SbJwyhTjrBlUI--Iwl2waGp2p3M0IaQKNK7O9-KI4uGwtojcP5bMqkkBTurPbH5l0ePE3b8eps7IEwDihPHIEaLBlDf_5IBYuQDDhshq.SgKErKyHHbfk29Y7wi-pBWX37kMmIQRY28Hqbfjq5LI&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%80%8C%E8%B6%85%E3%80%8D%E5%85%A5%E9%96%80&qid=1739153575&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96+%E8%B6%85+%E5%85%A5%E9%96%80%2Caps%2C218&sr=8-1]), □}})}})

[1] がなんといっても一番詳しいですが難しいです．まだ読了していません．読了したら また別の方法で解いてみたいと思います．しかし[1] が難しいのは一般論 （例えば Galois群の判別式） をしっかりやっているからで，「有理係数の方程式を解くだけ」 なら Mathematica を使えば, 結構解けるものだなと感じました．数学的な知識は[6], [7], [8], [9] の入門レベルしか使っていません．なお，今回の f (x) の式は[1] から拝借しました．しかし途中の過程はかなり異なっていると思います． それは[1] が理論的な考察を中心としているのに対し，私は方程式を解くことだけを目的としたからです．初歩的な定理のみ使い泥臭く解きましたが，Mathematica を使えばかなり速く解けます．