(x^5)-5x+12 の厳密解  with Mathematica 13.3

part2. Galois群が(Subscript[D, 5]) の方程式       　          2025 年2月  by  (HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

§0.  [準備] 原始元，分解方程式，ガロア群

Part1 からの輸入です

ClearAll["`*"]
f[x_]=x^5-5x+12;

f(x)=0の解を x1, x2, x3, x4, x5 . f(x)=0 の原始元の一つをv = 5 x1+2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 1 x5 (part2 では, part1 と異なり α,β... などの代わりに x1,x2,...を利用する)． vの最小多項式をV[x] とすると

V[x_]=148996000-1521500 (x^2)-12500 (x^4)+3325 (x^6)-110 (x^8)+(x^10);

また x1, x2, x3, x4, x5 を原始元vで表すと

{x1,x2,x3,x4,x5}={(1/9239628268800)(5117531026400+2122210541600 v-92467168500 (v^2)-16386746700 (v^3)-6336236320 (v^4)+421422680 (v^5)+183059535 (v^6)-991635 (v^7)-1592443 (v^8)-78265 (v^9)),(1/923962826880)(-201405134560-37539305120 v-7761390780 (v^2)-3277349340 (v^3)+993991688 (v^4)+84284536 (v^5)-12606567 (v^6)-198327 (v^7)-7141 (v^8)-15653 (v^9)),((-16080205600+881249100 (v^2)-18671920 (v^4)-295305 (v^6)+8621 (v^8))/23936860800),(1/923962826880)(-201405134560+37539305120 v-7761390780 (v^2)+3277349340 (v^3)+993991688 (v^4)-84284536 (v^5)-12606567 (v^6)+198327 (v^7)-7141 (v^8)+15653 (v^9)),(1/9239628268800)(5117531026400-2122210541600 v-92467168500 (v^2)+16386746700 (v^3)-6336236320 (v^4)-421422680 (v^5)+183059535 (v^6)+991635 (v^7)-1592443 (v^8)+78265 (v^9))};

f(x) のGalois群を Gal , σ=(1,2,3,4,5), τ=(2,3,5,4) とすると, (τ^2)=(2,5)(3,4)
 Gal={Id, σ,(σ^2),(σ^3),(σ^4),(τ^2)σ,(τ^2)(σ^2),(τ^2)(σ^3),(τ^2)(σ^4)}= (Subscript[D, 5])= (Subscript[C, 5])+  (τ^2)(Subscript[C, 5])
ただし，(Subscript[C, 5])は5次巡回群, (Subscript[D, 5])は10次の2面体群で，分解列は    Gal=(Subscript[D, 5]) ⊳ (Subscript[C, 5]) ⊳ {Id}

§１．Lagrange分解式 s1,s2,s3,s4 の5乗の値を求める

(Subscript[C, 5]) ⊳{Id}の部分に注目し，ラグランジュの5次分解式をつくる .(ζ は1の原始５乗根のひとつ．)
このとき，V(v)と円分方程式 (v^4)+(v^3)+(v^2)+v+1 で割った余りを考える．(PolynomialMod)

s0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5//PolynomialMod[#,V[v]]&;
s1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ x4 +ζ^3 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s3=x1+ζ^3 x2+ ζ x3 +ζ^4 x4 +ζ^2 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s4=x1+ζ^4 x2+ ζ^3 x3 +ζ^2 x4 +ζ x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;

解と係数の関係より s0 = 0. また

(#)({{{, ({{s1をσで移すと s1→(ζ^4)s1,, (τ^2)で移すと s1→s4}, {s2をσで移すと s2→(ζ^3)s2,, (τ^2)で移すと s2→s3}, {s3をσで移すと s3→(ζ^2)s3,, (τ^2)で移すと s3→s2}, {s4をσで移すと s4→ ζs4,, (τ^2)で移すと s4→s1}})}})

即ち, (τ^2) は 分解式を「 s1↔s4，s2↔s3」 のように移し，σは 「 s1→(ζ^4)s1→→(ζ^3)s1→→(ζ^2)s1→ζs1→s1」 のように移す． 
さらに 同型写像 μ: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.                           
                            (by μ) s1→s3→s4→s2 →s1⋯         (by (μ^2)) s1↔s4，s2↔s3          

 さて(#)より (s1^5),(s2^5),(s3^5),(s4^5)は σで不変．t1=(s1^5)+(s4^5), t2=(s2^5)+(s3^5), t3=(s1^5)(s4^5), t4=(s2^5)(s3^5) ((はτ)^2) で不変
故に t1,t2,t3,t4 は(Subscript[D, 5])で不変なので, (Subscript[D, 5])の固定体 Q(ζ)に入るはず． 「単純計算」で

t1=s1^5+s4^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t2=s2^5+s3^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t3=s1^5*s4^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t4=s2^5*s3^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

【参考】(μ^3): ζ→(ζ^2) で t1 を移すと，t2=-8750-5000((ζ^4)+ζ)=-3750+5000 (ζ^2)+5000 (ζ^3)
同様にして t3 の式から　計算なしに t4 の式が得られる.

ここで ζの偏角を(±2π/5)に取っても一般性を失わない．このとき「 (ζ^2)+(ζ^3)=1/2(-1-(Sqrt[5]))」だから 
(s1^5)+(s4^5)=-6250+2500(Sqrt[5]) ,(s2^5)+(s3^5)=-6250-2500(Sqrt[5]),(s1^5)(s4^5)=-78125(Sqrt[5]) ,(s2^5)(s3^5)=78125(Sqrt[5])           --(1)

p=(s1^5),q=(s2^5),r=(s3^5),s=(s4^5)とおくと，(1)より
         p+s=-6250+2500(Sqrt[5]), ps=-78125(Sqrt[5]), q+r=-6250-2500(Sqrt[5])，qr=78125(Sqrt[5]) 
「p, s を２解とする２次方程式」と「q, r を２解とする２次方程式」を作ることができるので p,q,r,sの値が求まる．   理論的に解けることが分かったのでSolveを使って{p,q,r,s}を求め 変数[pqrs]に入れる．

pqrs={p,q,r,s}/.Solve[{p+s==-6250+2500Sqrt[5],p s==-78125Sqrt[5], q+r==-6250-2500Sqrt[5], q r==78125Sqrt[5]},{p,q,r,s}]//FullSimplify

ここで

625 (-5-2 (Sqrt[5])-3 (Sqrt[5+(11/(Sqrt[5]))]))==-125 (25+10 (Sqrt[5])+3 (Sqrt[125+55 (Sqrt[5])]))

であるから，(p,q,r,s)の組は4組あるが，これらは順序が異なっているだけで，最初の組を(p,q,r,s)と改めておくと，全ての解は (p,q,r,s),(s,q,r,p),(p,r,q,s),(s,r,q,p)の4通り．(実は x1,x2,x3,x4の値は (p,q,r,s)を(s,r,q,p),(r, p,s,q), (q,s,p,r)に変えても変わらないので，これらの解は実質２組.)

§2.(s1 (s2^2)+(s3^2) s4) と ((s1^2) s3+s2 (s4^2)) の値を考慮し s1,s2,s3,s4 の値を求める

ここで s0,s1,s2,s3,s4の定義とs0=0から

(##)({{{, ({{x1=1/5(s1+s2+s3+ s4)
x2=1/5((ζ^4)s1+(ζ^3)s2+(ζ^2)s3+ζ s4)
x3=1/5((ζ^3)s1+ζ s2+(ζ^4) s3+(ζ^2) s4)
x4=1/5((ζ^2)s1+(ζ^4)s2+ζ s3+(ζ^3) s4)
x5=1/5(ζ s1+(ζ^2)s2+(ζ^3)s3+(ζ^4) s4), }, {, 
}})}})
 w1=s1 (s2^2)+s2 (s4^2) と w2=(s1^2) s3+s2 (s4^2) は σとτ で変わらないので，(Subscript[D, 5]) の不変体Q(ζ)に入る．「単純計算」して

s1 s2^2+s3^2 s4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s1^2 s3+s2 s4^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

【参考】(μ^3): ζ→(ζ^2) で w1の式 を移すと 
s2 (s4^2)+(s1^2)s3=-50-100 (ζ^4)-100 ζ=-50-100(-1-(ζ^2)-(ζ^3))=50+100 (ζ^2)+100 (ζ^3)
このように計算無しで w1の式からw2 の式が得られる.

「(ζ^2)+(ζ^3)=1/2(-1-(Sqrt[5]))」だから，
(s1(s2^2)+ (s3^2)s4, (s1^2)s3+ s2 (s4^2))=(50(Sqrt[5]),-50(Sqrt[5]))--(2)

変数[pqrs]には((s1^5),(s2^5),(s3^5),(s4^5))の値が4組入っている.ここで s1,s2,s3,s4は実数としても一般性を失わない（補足参照)．このとき(2)を満たす(s1,s2,s3,s4)は次の2組となる．

realRoot[p_]:=Sign[p]Abs[p]^(1/5)(*実数に対し実5乗根を求めるコマンド*)
realRoot/@pqrs;
s1s2s3s4=Select[%,(FullSimplify[ #[[1]]*#[[2]]^2+#[[3]]^2*#[[4]]]==50Sqrt[5]&&FullSimplify[#[[1]]^2*#[[3]]+#[[2]]*#[[4]]^2]==-50Sqrt[5])&]

§3．x1,x2,x3,x4,x5 の値を求める

これらの2組の最初の解を {s1, s2,s3,s4}とおくと，他の解は  {s4,s3,s2,s1}．ところが，この2組の置換では {x2,x3,x4,x5}の順序が変わるだけなので，同じ解集合を与える.　故に，解集合{x1,x2,x3,x4,x5} の値は, 次の {x1’,x2’,x3’,x4’,x5’}となる．

この計算はバグることが多いです．結果がおかしいときは「評価を放棄」して「このセルのみ再評価」して下さい．

{s1',s2',s3',s4'}=s1s2s3s4[[1]];　
ζ=(1/4) (-1+(Sqrt[5])+(Sqrt[2 (5+(Sqrt[5]))])I);(*=Cos[2π/5]+i Sin[2π/5],最後に代入するのが吉*)

x1'=1/5(s1'+s2'+ s3'+ s4')//Simplify
x2'=1/5(ζ^4s1'+ζ^3 s2'+ζ ^2 s3'+ζ s4')//Simplify
x3'=1/5(ζ^3s1'+ζ s2'+ζ^4 s3'+ζ^2s4')//Simplify
x4'=1/5(ζ^2s1'+ζ^4 s2'+ζ s3'+ζ^3 s4')//Simplify
x5'=1/5(ζs1'+ζ^2 s2'+ζ ^3 s3'+ζ^4 s4')//Simplify

近似値を使い f (x) = 0 の解と比較する．まず 上で求めた解の近似値は

{Dynamic[N[x1']],Dynamic[N[x2']],Dynamic[N[x3']],Dynamic[N[x4']],Dynamic[N[x5']]}

一方, f (x) = 0 の解の近似値を求めると

x/.NSolve[f[x]==0,x]

少なくとも小数点以下5桁までは一致する．また少し時間はかかるが f(x1)=0となることが確かめられる．(興味のある方は下のコメントを外して実行してみてください)

(*f[FullSimplify[x1']]//FullSimplify*)

虚数根の方は「とても」時間がかかるので省略する．なお実数根x1と虚数根x2を 累乗根を使って表すと，

Dynamic[x1']//TraditionalForm//Print

Dynamic[x2']//TraditionalForm//Print

§4．まとめ

Gal=(Subscript[D, 5])  の有理数係数５次方程式(4次の係数は0)に対する解法のまとめです．

[Step1] 5次のLagrangeの分解式 (Subscript[s, 0]),(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]) を作る (ζ は１の原始５乗根の一つ)

({{{, ({{(Subscript[s, 0]), =(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]) (=0)}, {(Subscript[s, 1]), =(Subscript[x, 1])+ζ(Subscript[x, 2])+(ζ^2) (Subscript[x, 3])+(ζ^3) (Subscript[x, 4])+(ζ^4) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 2]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^2) (Subscript[x, 2])+(ζ^4) (Subscript[x, 3])+ζ (Subscript[x, 4])+(ζ^3) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 3]),  =(Subscript[x, 1])+(ζ^3) (Subscript[x, 2])+ζ (Subscript[x, 3])+(ζ^4) (Subscript[x, 4])+(ζ^2) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 4]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^4) (Subscript[x, 2])+(ζ^3) (Subscript[x, 3])+(ζ^2) (Subscript[x, 4])+ζ (Subscript[x, 5])}})}}) ⇒   ({{{, ({{(Subscript[x, 1]), =(Subscript[s, 1])+(Subscript[s, 2])+(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 2]), =(ζ^4)(Subscript[s, 1])+(ζ^3)(Subscript[s, 2])+(ζ^2) (Subscript[s, 3])+ζ (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 3]), =(ζ^3)(Subscript[s, 1])+ζ(Subscript[s, 2])+(ζ^4) (Subscript[s, 3])+(ζ^2) (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 4]),  =(ζ^2)(Subscript[s, 1])+(ζ^4)(Subscript[s, 2])+ζ (Subscript[s, 3])+(ζ^3) (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 5]), =ζ(Subscript[s, 1])+(ζ^2)(Subscript[s, 2])+(ζ^3) (Subscript[s, 3])+(ζ^4) (Subscript[s, 4])}})}})
 
   ここで 次の関係が成り立つ.
                              (#)({{{, ({{(Subscript[s, 1])をσで移すと (Subscript[s, 1])→(ζ^4)(Subscript[s, 1]),, (τ^2) で移すと (Subscript[s, 1])→(Subscript[s, 4])}, {(Subscript[s, 2])をσで移すと (Subscript[s, 2])→(ζ^3)(Subscript[s, 2]),, (τ^2) で移すと (Subscript[s, 2])→(Subscript[s, 3])}, {(Subscript[s, 3])をσで移すと (Subscript[s, 3])→(ζ^2)(Subscript[s, 3]),, (τ^2) で移すと (Subscript[s, 3])→(Subscript[s, 2])}, {(Subscript[s, 4])をσで移すと (Subscript[s, 4])→ ζ(Subscript[s, 4]),, (τ^2) で移すと (Subscript[s, 4])→(Subscript[s, 1])}})}})
(τ^2) は 分解式を「 (Subscript[s, 1])↔(Subscript[s, 4])，(Subscript[s, 2])↔(Subscript[s, 3])」 のように移し，σは 「 (Subscript[s, 1])→(ζ^4)(Subscript[s, 1])→→(ζ^3)(Subscript[s, 1])→→(ζ^2)(Subscript[s, 1])→ζ(Subscript[s, 1])→(Subscript[s, 1])」 のように移す． 

さらに 同型写像 μ: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.                           
                        (##)     (by μ) (Subscript[s, 1])→(Subscript[s, 3])→(Subscript[s, 4])→(Subscript[s, 2]) →(Subscript[s, 1])         (by (μ^2)) (Subscript[s, 1])↔(Subscript[s, 4])，(Subscript[s, 2])↔(Subscript[s, 3])

(Subscript[t, 1])=((Subscript[s, 1])^5)+((Subscript[s, 4])^5), (Subscript[t, 2])=((Subscript[s, 2])^5)+((Subscript[s, 3])^5), (Subscript[t, 3])=(Subscript[s, 1])(Subscript[s, 4]), (Subscript[t, 4])=(Subscript[s, 2])(Subscript[s, 3]) とおく．
(Subscript[t, 1]),  (Subscript[t, 2]), (Subscript[t, 3]), (Subscript[t, 4]) は (Subscript[D, 5])で不変なので, (Subscript[D, 5])の固定体 Q(ζ)に入り  (Subscript[t, 1]) ,(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, 4]) の値は「単純計算」で求まる．２次方程式を解くことにより (((Subscript[s, 1])^5), ((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5), ((Subscript[s, 4])^5)) の値が ４組求まる．
ここで「 ((Subscript[s, 1])^5), ((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5), ((Subscript[s, 4])^5) は全て実数」または「 (Subscript[s, 1])と (Subscript[s, 4]),  (Subscript[s, 2])と  (Subscript[s, 3])が複素共役」（補足参照)

[Step2]((Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)+((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4])) と (((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)) の値を考慮し (Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]) の値を求め，さらに (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5])を求める．

(Subscript[u, 1])=(Subscript[s, 1])(Subscript[s, 4]), (Subscript[u, 2])=(Subscript[s, 2])(Subscript[s, 3]),   (Subscript[w, 1])=(Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)+((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4 ]),(Subscript[w, 2])=((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)とおくと，(#)より (Subscript[u, 1]), (Subscript[u, 2]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2])は，(Subscript[D, 5])の不変体 Q(ζ)に入る．故に 「単純計算」で (Subscript[u, 1,])(Subscript[u, 2]), (Subscript[w, 1])と (Subscript[w, 2]) の値は求まる．

(ア)((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)が実数の時，(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])が全て実数としても一般性を失わない.(補足3).  故に (Subscript[w, 1, ])(Subscript[w, 2])を満足させる ((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])) はすぐ求まる．

(イ)(Subscript[s, 1])と (Subscript[s, 4]) , (Subscript[s, 2])(Subscript[とs, 3]) が複素共役のとき，(Subscript[C, 5]) のときと同様に極形式を使えば，(Subscript[u, 1]), (Subscript[u, 2])の値から絶対値が, (Subscript[w, 1])(Subscript[とw, 2]) の値から偏角が求まる．これにより((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])) の値が求まる．

§5．補足

[補足1](Subscript[s, 1]) (Subscript[s, 4]), (Subscript[s, 2]) (Subscript[s, 3]), (Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)+((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4]),((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2) ,((Subscript[s, 1])^5)+((Subscript[s, 4])^5),((Subscript[s, 2])^5)+((Subscript[s, 3])^5) は Q((Sqrt[5]))に入る

((写像μ)^2):ζ→(ζ^4)により「(Subscript[s, 1])↔(Subscript[s, 4]),(Subscript[s, 2])↔(Subscript[s, 3])」．故に (Subscript[s, 1]) (Subscript[s, 4])，(Subscript[s, 2]) (Subscript[s, 3]) , (Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)+((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4]),((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)は (μ^2)で変わらない．例えば u=(Subscript[s, 1]) (Subscript[s, 4])とおくと，§1よりu∈Q(ζ)だから u=a+bζ+((cζ)^2)+((dζ)^3)(a,b,c,d ∈Q)とおける．ここで 「(μ^2)によって u は変わらない」ので a+bζ+((cζ)^2)+((dζ)^3)=a+((bζ)^4)+((cζ)^3)+((dζ)^2)(=(a-b)-bζ+(-b+d)(ζ^2)+(-b+c)(ζ^3))
1,ζ,(ζ^2),(ζ^3) はQ上一次独立だから, b=0, c=d. 故に u=a+c((ζ^2)+(ζ^3))∈Q((Sqrt[5]))． 他も同様．

[補足2]((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)  は 全て実数，または (Subscript[s, 1])と (Subscript[s, 4]) , (Subscript[s, 2])(Subscript[とs, 3]) が複素共役

まず，((Subscript[s, 1])^5)=0 とする.これを μによって移すと，((Subscript[s, 2])^5)=((Subscript[s, 4])^5)=((Subscript[s, 3])^5)=0 となり矛盾．よって ((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)は, どれも 0ではない．
[補足1]より，arg((Subscript[s, 1]))=(Subscript[θ, 1]), arg((Subscript[s, 2]))=(Subscript[θ, 2]) とおくと，s1 s4, s2 s3 が実数となるから， arg((Subscript[s, 3]))=-(Subscript[θ, 2]), arg((Subscript[s, 4]))=-(Subscript[θ, 1]) 
このとき，arg((Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2))=(Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2]), arg(((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4]))=-((Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2])) ,arg(((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3]))=2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2]), arg((Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2))=-(2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])) 
故に（(Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)+((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4])）と　（((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)）が実数より,　　

　　　「(Subscript[｜s, 1])((Subscript[s, 2])^2)|=|((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4])|または ((Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)と((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4])が実数)」かつ「((Subscript[｜s, 1])^2)(Subscript[s, 3])|=|(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)|または (((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])と (Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)が実数) 」

ここで　(Subscript[｜s, 1])((Subscript[s, 2])^2)|=|((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4])|(Subscript[と｜s, 2])((Subscript[s, 4])^2)|=|((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])|は μ によって互いに移るので，片方が成り立てば，もう一方も成り立ち，これから
 |(Subscript[s, 2])|=|(Subscript[s, 3])|かつ|(Subscript[s, 1])|=|(Subscript[s, 4])|となる．このとき (Subscript[s, 1])と (Subscript[s, 4]) , (Subscript[s, 2])(Subscript[とs, 3]) が複素共役

(Subscript[s, 1])((Subscript[s, 2])^2)，((Subscript[s, 3])^2)(Subscript[s, 4])，((Subscript[s, 1])^2)(Subscript[s, 3])， (Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)が実数のときは， 
　　　　　(Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2])≡0 かつ　2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])≡0 →5(Subscript[θ, 1])≡5(Subscript[θ, 2])≡0 (mod π)
従って　 ((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)  は 実数となる．

[補足3]((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)  が全て実数のとき，(Subscript[s, 1]) , (Subscript[s, 2]), (Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])  を実数としても一般性を失わない

(((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5),((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5))の値の組を一つ固定する．この時 ((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]))の選び方は (5^4)通り．これらを集めた集合S={((ζ^k)(Subscript[s, 1]),(ζ^l)(Subscript[s, 2]),(ζ^m)(Subscript[s, 3]),(ζ^n)(Subscript[s, 4]))(k,l,m,n=0,1,2,3,4)} の中の置換μ を次のように定める．
　　　　μ:(Subscript[s, 1])→(Subscript[ζs, 1]),(Subscript[s, 2])→(ζ^2)(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3])→(ζ^3)(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4])→(ζ^4)(Subscript[s, 4])

μによって (Subscript[x, i])は「 (Subscript[x, 1])→(Subscript[x, 5])→(Subscript[x, 4])→(Subscript[x, 3])→(Subscript[x, 2])→(Subscript[x, 1 ])」と動く．((これはτ)^3)によるものと同じ動き.(*)

一方μによって
((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]))→((Subscript[s, 1])ζ,(Subscript[s, 2])(ζ^2),(Subscript[s, 3])(ζ^3),(Subscript[s, 4])(ζ^4))→((Subscript[s, 1])(ζ^2),(Subscript[s, 2])(ζ^4),(Subscript[s, 3])(ζ^6),(Subscript[s, 4])(ζ^8))→((Subscript[s, 1])(ζ^3),(Subscript[s, 2])(ζ^6),(Subscript[s, 3])(ζ^9),(Subscript[s, 4])(ζ^12))→((Subscript[s, 1])(ζ^4),(Subscript[s, 2])(ζ^8),(Subscript[s, 3])(ζ^12),(Subscript[s, 4])(ζ^16))→((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]))
と動く．即ち m=0,1,2,3,4 に対し,(μ^m) は ((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]))を ((Subscript[s, 1])(ζ^m),(Subscript[s, 2])(ζ^(2m)),(Subscript[s, 3])(ζ^(3m)),(Subscript[s, 4])(ζ^(4m)))に移す．　

ここで argζ=2π/5 として良い．((Subscript[s, 1])^5)は実数だから arg (Subscript[s, 1])は π/5 の整数倍．故に{(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 1])ζ,(Subscript[s, 1])(ζ^2),(Subscript[s, 1])(ζ^3),(Subscript[s, 1])(ζ^4)} の中に実数となるものが一つだけ存在する．
それを (Subscript[s, 1])(ζ^m) とすると，((Subscript[s, 1])(ζ^m))((Subscript[s, 4])(ζ^(4m)))=(Subscript[s, 1])(Subscript[s, 4]) が実数より，(Subscript[s, 4])(ζ^(4m))も実数．次に((Subscript[s, 2])(ζ^(2m)))((((Subscript[s, 4])(ζ^(4m))))^2)=(Subscript[s, 2])((Subscript[s, 4])^2)が実数より(Subscript[s, 2])(ζ^(2m))も実数．最後に((Subscript[s, 2])(ζ^(2m)))((Subscript[s, 3])(ζ^(3m)))=(Subscript[s, 2])(Subscript[s, 3]) が実数より (Subscript[s, 2])(ζ^(2m))も実数．故に((Subscript[s, 1])(ζ^m),(Subscript[s, 2])(ζ^(2m)),(Subscript[s, 3])(ζ^(3m)),(Subscript[s, 4])(ζ^(4m)))がすべて実数となる m が存在する.

((Subscript[s, 1])(ζ^m),(Subscript[s, 2])(ζ^(2m)),(Subscript[s, 3])(ζ^(3m)),(Subscript[s, 4])(ζ^(4m)))を改めて((Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]))と置き直すことができる．なぜなら，(*)より，これは (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5]) の名前を付け替えることに対応するから．

[補足4]f(x)が重解を持たない時， 実数解は1個か5個

(ア) ((Subscript[s, 1])^5) , ((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5)  が 全て実数のとき. 
[補足3]より，(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3,])(Subscript[s, 4 ])が実数としても一般性を失わない．このとき (Subscript[x, 1 ])は実数．

(OverBar[(Subscript[x, 2])])=(OverBar[(ζ^4)(Subscript[s, 1])+(ζ^3)(Subscript[s, 2])+(ζ^2) (Subscript[s, 3])+ζ (Subscript[s, 4])])=ζ(Subscript[s, 1])+(ζ^2)(Subscript[s, 2])+(ζ^3) (Subscript[s, 3])+(ζ^4) (Subscript[s, 4])=(Subscript[x, 5]), 同様に (OverBar[(Subscript[x, 3])])=(Subscript[x, 4])
故に，実数解が1つと複素共役な虚数解が2組ある．

(イ) (Subscript[s, 1])と (Subscript[s, 4]) , (Subscript[s, 2])(Subscript[とs, 3]) が複素共役のとき
Galois群が (Subscript[C, 5])のときと同様にして，(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5]) は全て実数.

【参考文献&サイト】次のサイトや文献を参考にさせて頂きました．ありがとうございます．

({{{, ({{1.(HyperlinkURL["可解な5次方程式について(大迎 規宏氏)", https://hyogo-u.repo.nii.ac.jp/record/5251/files/ZD30301003.pdf]), □}, {2.(HyperlinkURL["方程式のガロア群(松田修氏)", https://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galois_equations.pdf]), □}, {3.(HyperlinkURL["ガロア理論を使って方程式を解いたことがありますか(scruta氏)", https://calgal.info/]), □}, {4.(HyperlinkURL["ペンギンは空を飛ぶ- 5次方程式の解を巡る旅 (peng225氏)", https://peng225.hatenablog.com/entry/2018/01/25/200421]), □}, {5.(HyperlinkURL["Period-Mathmatics 可解な5次方程式の代数的解法", https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2019/05/11/164456]), □}, {(以下は書籍), □}, {6.(HyperlinkURL["ガロアの群論(中村亨氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%BE%A4%E8%AB%96%E2%80%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%81%9C%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%81%AA%E3%81%8B%E3%81%A3%E3%81%9F%E3%81%AE%E3%81%8B-%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-%E4%B8%AD%E6%9D%91-%E4%BA%A8/dp/4062576848/ref=sr_1_1?adgrpid=53001801813&dib=eyJ2IjoiMSJ9.rDFwg-m8XukNrR90DvZJTrOuZ0RIbpH6mWvOM64KlnvQvxJQxrWvX3NyChoQOQLZm2sD_fJlV0ljUFqiHTlm49fbQyUwnTP5dPN7lzGeVgEFcJt8GDZCWCW2vsO6_ItB8zjfn8Vx6GKkH3pCL_hJizTZGbemmi-s-zjaNOXoeFbyu9sRPC62aeCAVexKhJP1TW2X1i0o1m0jcuz4yoU3ZlbjEooDhiz5h_kFqK30we9FYG2_zveqV6dtZFd2tvv3eKu-P0a2JZMbbFAS0Wz4rUOLPlK6yGBQkQTNAuEICqhvxg-CPjdCvhc-kWquVEokcwoNTnRlWGULAliToJFDnnESdQvQuW73IZwzov1pifuGJ85fERR2GmOmgGYg_mVA0GbIPeMXh470TzEdk07zq8_LHV30s8XJ1yYRGo_nJdPfiRQiF-4MCRRPY-pDAEeB.JeCkjB_ZPG46AYt8vvKEqIJYe3craliwzEfHkOgfRAA&dib_tag=se&hvadid=679072441399&hvdev=c&hvlocphy=1009277&hvnetw=g&hvqmt=e&hvrand=15120444813952387024&hvtargid=kwd-333087534169&hydadcr=13894_13573117&jp-ad-ap=0&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%BE%A4%E8%AB%96&mcid=d840888251fb3c52925a095017da9ed0&qid=1739152791&sr=8-1]), □}, {7.(HyperlinkURL["ガロワ理論最短コース(梶原 健氏)", https://www.amazon.co.jp/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E3%82%92%E5%AD%A6%E3%81%B6-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9-%E6%A2%B6%E5%8E%9F%E5%81%A5/dp/4535787018/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=101QXCSB01O7C&dib=eyJ2IjoiMSJ9.Dsna8TMhaDUsGMKsdDcy_lzBUCqGVSdqMs2-UaoC9DzGjHj071QN20LucGBJIEps.GA2FXcKaTsVSUiHLXNg3UwkIrry24xzWhLxKMCLfKjM&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9&qid=1739153189&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9%2Caps%2C169&sr=8-1 ]), □}, {8.(HyperlinkURL["ガロア理論の頂きを踏む(石井俊全氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%82%92%E8%B8%8F%E3%82%80-BERET-SCIENCE-%E7%9F%B3%E4%BA%95-%E4%BF%8A%E5%85%A8/dp/4860643631/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=6U6O5KFZFB1I&dib=eyJ2IjoiMSJ9.BBAXosCmu-2sx1rv4ye9IFuHi1gCxQwHbv80TiR0qzl7Z8pa2CRIw4uD12lLEJopehlwLWxTxCJoS6x8-gYtB3aVGyvFmrf8gKf4fSQfUGfvaofVRWoswiYxS0pXi4hYyZtpXgH5aV08YNjzTBgVPQ.pU6hybJJdLh8sAa44zpuoAlf4GxpsWmmejfjTHCm9VA&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%81%8D&qid=1739153303&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%81%8D%2Caps%2C166&sr=8-1]), □}, {9. (HyperlinkURL["ガロア理論「超」入門(小林吹代氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%80%8C%E8%B6%85%E3%80%8D%E5%85%A5%E9%96%80-%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%A8%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%8B%E3%82%89%E8%80%83%E3%81%88%E3%82%8B-%E7%9F%A5%E3%82%8A%E3%81%9F%E3%81%84-%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9-%E5%B0%8F%E6%9E%97/dp/4774185744/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=3CJFLGVWBGJ0N&dib=eyJ2IjoiMSJ9._iyPRqsDdtiH9rjS14CnSLMZLTBwnCel0FABjlt0goQ7VaZ3I-wbKkTr0VRbtC94IIF5hQjbbN8Kz_8sDPaQaPEx2v9JZhxFEPyOBRDWKcCo7_MVjhEiW3ZDrES_j8DtwPK7x6QqRQJXlybfokiTULxCWkVHabVuBLFWAdStu_s_wbCTRnpz2z2BHXLF0qrVCotnGDlIWPJtCZu7rkLQ0QZ5YEbo8uqZqksM7Yr22_yX6D6C6gYdcHXCxe0Wjks5JpgEDuKQxQR7NiHHXQB-pxpHI6t5YliSIgLJ9bs_R5oPIy5MpMzP_iWYKB_Y7NsZfoaE4dMOuD3vfQhgEIWoOyq4SbJwyhTjrBlUI--Iwl2waGp2p3M0IaQKNK7O9-KI4uGwtojcP5bMqkkBTurPbH5l0ePE3b8eps7IEwDihPHIEaLBlDf_5IBYuQDDhshq.SgKErKyHHbfk29Y7wi-pBWX37kMmIQRY28Hqbfjq5LI&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%80%8C%E8%B6%85%E3%80%8D%E5%85%A5%E9%96%80&qid=1739153575&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96+%E8%B6%85+%E5%85%A5%E9%96%80%2Caps%2C218&sr=8-1]), □}})}})

[1] がなんといっても一番詳しいですが難しいです．まだ読了していません．読了したら [1]の方法で解いてみたいと思います．しかし[1] が難しいのは一般論 （例えば Galois群の判別式） をしっかりやっているからで，「有理係数の方程式を解くだけ」 なら Mathematica を使えば, 結構解けるものだなと感じました．数学的な知識は[6], [7], [8], [9] の入門レベルしか使っていません．また，今回の f (x) の式は[1] から拝借しました．しかし途中の過程はかなり異なっていると思います． それは[1]が理論的な考察を中心としているのに対し，私は方程式を解くことを中心としたからです． 最後に，私は専門家ではないので，色々間違いしているかもしれません．その際はお知らせ下さると有り難いです．なおメールアドレスは　ロボット対策のため 画像となっています．クリックしても何も起こりません.  ( )