(x^5) -10(x^3)+5(x^2)+10x+1 の厳密解 
                                                          with  Mathematica 13.3

Galois群が(Subscript[C, 5]) のとき                                                   2025 年2月  by     (HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

§0.  [準備]  原始元，分解方程式，ガロア群

以下はPart1 からの輸入です

ClearAll["`*"];
f[x_]=x^5−10x^3+5x^2+10x+1;

f(x)=0の解を x1, x2, x3, x4, x5 . f(x)=0 の原始元の一つをv = x1+2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 5 x5 (part2 では, part1 と異なり α,β... などの代わりに x1,x2,...を利用する)． vの最小多項式をV[x] とすると

V[x_]=-4375+2500 x-125 (x^3)+(x^5);

また x1, x2, x3, x4, x5 を原始元vで表すと

{x1,x2,x3,x4,x5}={((35250-5125 v-2575 (v^2)+25 (v^3)+22 (v^4))/5375),((-98500+16875 v+7325 (v^2)-140 (v^3)-63 (v^4))/5375),((41500-10875 v-3550 (v^2)+95 (v^3)+32 (v^4))/5375),((71500-13750 v-4575 (v^2)+130 (v^3)+37 (v^4))/5375),((-49750+12875 v+3375 (v^2)-110 (v^3)-28 (v^4))/5375)};

f(x) のGalois群を Gal , σ=(1,2,3,4,5) とすると
　 Gal={Id, σ,(σ^2),(σ^3),(σ^4)}= (Subscript[C, 5])
 ただし，(Subscript[C, 5])は5次巡回群で，分解列は    Gal=(Subscript[C, 5]) ⊳ {Id}

§１．Lagrange分解式 s1,s2,s3,s4 の5乗の値を求める

(Subscript[C, 5]) ⊳{Id}の部分に注目し，ラグランジュの5次分解式をつくる .(ζ は1の原始５乗根のひとつ．)
このとき，V(v)と円分方程式 (v^4)+(v^3)+(v^2)+v+1 で割った余りを考える．(PolynomialMod)

s0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5//PolynomialMod[#,V[v]]&;
s1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ x4 +ζ^3 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s3=x1+ζ^3 x2+ ζ x3 +ζ^4 x4 +ζ^2 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
s4=x1+ζ^4 x2+ ζ^3 x3 +ζ^2 x4 +ζ x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;

解と係数の関係より s0 = 0. またσにより分解式は次の様に移る．

(#)({{{, ({{s1→(ζ^4)s1→(ζ^3)s1→(ζ^2)s1→ζs1→s1, □}, {s2→(ζ^3)s2→ζs2→(ζ^4)s2→(ζ^2)s2→s2, }, {s3→(ζ^2)s3→(ζ^4)s3→ζs3((→ζ)^3)s3→s3, }, {s4→ζs4→(ζ^2)s4→(ζ^3)s4((→ζ)^4)s4→s4, }})}})

さらに 同型写像 μ: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.
                           
                            (by μ) s1→s3→s4→s2

(#)より (s1^5),(s2^5),(s3^5),(s4^5)は σで不変なので(Subscript[C, 5])で不変．故に  Q(ζ)に入るはず． 「単純計算」して

s1^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s2^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s3^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s4^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

Mathematica は何故か直してないが，1+ζ+(ζ^2)+(ζ^3)+(ζ^4)=0 だから，(((s3))^5)=3125(ζ^4)=(5^5)(ζ^4)
故に  ((s1^5),(s2^5),(s3^5),(s4^5))=((5^5)(ζ^3),(5^5)ζ,(5^5)(ζ^4),(5^5)(ζ^2))

あとは5乗根を取れば良いだけだが，偏角の取り方が５通りもあるから，これからが難しい．

(実は「(s1^5) =(5^5)(ζ^3)」を μで移せば,残りの３つもすぐ求まる．)

§2. s1 (s2^2), s2 (s4^2),(s1^2)s3, s2 (s4^2) の値を考慮しs1,s2,s3,s4 の
値を求める

2 - 1. s1 s4, s2 s3,(s1^2)s3, s1 (s2^2) の値を求める

(##)({{{, ({{x1=1/5(s1+s2+s3+ s4)
x2=1/5((ζ^4)s1+(ζ^3)s2+(ζ^2)s3+ζ s4)
x3=1/5((ζ^3)s1+ζ s2+(ζ^4) s3+(ζ^2) s4)
x4=1/5((ζ^2)s1+(ζ^4)s2+ζ s3+(ζ^3) s4)
x5=1/5(ζ s1+(ζ^2)s2+(ζ^3)s3+(ζ^4) s4), }, {, 
}})}})
まず ζ を (ζ^2), (ζ^3), (ζ^4) に変えても 解集合{x1,x2,x3,x4,x5}は変わらない．
 §1(#)より，s1s4, s2s3, s1 (s2^2),(s1^2)s3は σによって不変なので , (Subscript[C, 5])の固定体Q(ζ)に入る．「単純計算」して，

s1 s4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s2 s3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s1 s2^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s1 ^2s3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

「1+ζ+(ζ^2)+(ζ^3)+(ζ^4)=0」 だから，上の結果より,
       ({{{, ({{s1 s4=25, ⋯(1)}, {s2 s3=25, ⋯(2)}, {s1 (s2^2)=125 (ζ^4), ⋯(3)}, {s3 (s1^2)=125 (ζ^2), ⋯(4)}})}})

(実は「s1 s4=25と　s1 (s2^2)=125 (ζ^4)」を μで移せば,残りの2つもすぐ求まる)

（A)三角関数を利⽤してs1,s2,s3,s4を求める

(1),( 2) よりs1とs4, s2とs3は互いに複素共役と分かるから
  s1= 5( cos (Subscript[θ, 1])+  i sin (Subscript[θ, 1])) , s2= 5( cos (Subscript[θ, 2])+  i sin (Subscript[θ, 2])), s3= 5( cos(- (Subscript[θ, 2]))+  i sin(-(Subscript[θ, 2]))), s4= 5( cos(- (Subscript[θ, 1]))+  i sin(-(Subscript[θ, 1])))
とおける．このとき(3) と(4)より
                                 (Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2])=8/5π かつ 2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])=4/5π
                                 ∴  (Subscript[θ, 1])=16π/25  かつ  (Subscript[θ, 2])=12π/25

即ち  (A)({{{, ({{s1, =5(cos(16π/25)+i sin(16π/25))}, {s2, =5(cos(12π/25)+i sin(12π/25))}, {s3, =5(cos(-12π/25)+i sin(-12π/25))}, {s4, =5(cos(-16π/25)+i sin(-16π/25))}})}})

(B)累乗根を利用して s1,s2,s3,s4を求める

複素数z= r( cos θ+ i sin θ) (r>0, -π<θ≤π)  に対し,  (z^(1/5))=  (r^(1/5))(cos(θ/5)+ i cos(θ/5)) と定義する．
それに対し  (z^(1/5))=(r^(1/5))(cos(θ/5+2kπ/5)+ i cos(θ/5+2kπ/5)) (kは適当な整数)と定義すると，
いずれも5 乗すればzであるが， (z^(1/5)) の⽅は偏角が5通りある.（これらの定義はここだけの話です）

このとき（ 1） より (s1,s2,s3,s4)=(5((ζ^3)^(1/5)),5(ζ^(1/5)),((ζ^4)^(1/5)),5((ζ^2)^(1/5)))

以下 ζ の偏角を 2π/5 としても一般性を失わない．(z^(1/5))において zの偏角は (-π)から πで考えているので, 
                                                  
                                                            arg(((((ζ^3)))^(1/5)))=1/5(-4π/5)=-4π/25

一方「arg((Subscript[s, 1]))= (Subscript[θ, 1])=16π/25 」だから，((ζ^3)^(1/5))= ((( (ζ^3) ))^(1/5)) × (ζ^2)

同様にして   (ζ^(1/5))=(((ζ))^(1/5))×ζ,     ((ζ^4)^(1/( 5)))=((((ζ^4)))^(1/5))×(ζ^4),      ((ζ^2)^(1/5))=((((ζ^2)))^(1/5))×(ζ^3)

故に，       (B) ({{{, ({{s1, =5((ζ^3)^(1/5))=5((((ζ^3)))^(1/5))×(ζ^2)}, {s2, =5(ζ^(1/5))=5(((ζ))^(1/5))×ζ}, {s3, =5((ζ^4)^(1/5))=5((((ζ^4)))^(1/5))×(ζ^4)}, {s4, =5((ζ^2)^(1/5))=5((((ζ^2)))^(1/5))×(ζ^3)}})}})

§3. x1,x2,x3,x4,x5 の値を求める

二通りの方法で求めて，それを比較する．

3-1.  (A) を利用して，x1, x2, x3, x4, x5 を三角関数で求める

ζ=Cos[2Pi/5]+I Sin[2Pi/5]//Simplify; (*偏角は2π/5*)

s1,s2,..の値を ss1, ss2, .. とする．（三角の s)

θ1=16Pi/25; θ2=12Pi/25;
ss1=5(Cos[θ1]+I Sin[θ1])//Simplify;
ss2=5(Cos[θ2]+I Sin[θ2])//Simplify;
ss3=5(Cos[-θ2]+I Sin[-θ2])//Simplify;
ss4=5(Cos[-θ1]+I Sin[-θ1])//Simplify;

三角関数で表されたf (x) の解を xs1, xs2, ... とすると，

xs1=1/5(ss1+ss2+ss3+ss4)//Simplify
xs2=1/5(ζ^4ss1+ζ^3ss2+ζ^2ss3+ζ ss4)//Simplify
xs3=1/5(ζ^3ss1+ζ ss2+ζ^4ss3+ζ^2ss4)//Simplify
xs4=1/5(ζ^2ss1+ζ^4ss2+ζ ss3+ζ^3ss4)//Simplify
xs5=1/5(ζ ss1+ζ^2ss2+ζ^3ss3+ζ^4ss4)//Simplify

3-2.  (B) を利用して，x1, x2, x3, x4, x5 を累乗根で求める

s1, s2, .. の値を sr1, sr2, .. とする．（累乗 の r)

sr1=5 (ζ^3)^(1/5)*ζ^2//Simplify;
sr2=5 (ζ)^(1/5)*ζ//Simplify;
sr3=5 (ζ^4)^(1/5)*ζ^4//Simplify;
sr4=5 (ζ^2)^(1/5)*ζ^3//Simplify;

下のセルは計算バグがよく起こります．その場合は「評価を放棄」して「直下のセルのみ評価」してください

累乗根で表されたf (x) の解を xr1, xr2, ... とすると，

xr1=1/5(sr1+sr2+sr3+sr4)//Simplify
xr2=1/5(ζ^4sr1+ζ^3sr2+ζ^2sr3+ζ sr4)//Simplify
xr3=1/5(ζ^3sr1+ζ sr2+ζ^4sr3+ζ^2sr4)//Simplify
xr4=1/5(ζ^2sr1+ζ^4sr2+ζ sr3+ζ^3sr4)//Simplify
xr5=1/5(ζ sr1+ζ^2sr2+ζ^3sr3+ζ^4sr4)//Simplify

3-3. 「三角関数で表された解xs 」と「累乗根で表された解xr」を比較する

厳密な比較は難しいので近似値を求めると

N@{xs1,xs2,xs3,xs4,xs5}
N@{xr1,xr2,xr3,xr4,xr5}

2つは非常に近く実部は完全に一致し，((虚部も10)^(-16))程度の大きさである．2つの解は一致し，f(x)の解は全て実数とみなして良いだろう．念の為グラフも描いてみる．

Plot[f[x],{x,-4,3},PlotLegends->Placed["y=f(x)=(x^5)-10(x^3)+5(x^2)+10x+1",{Bottom,Left}]]

§4. まとめ

ガロア群が (Subscript[C, 5])である f(x)の解の求め方

[Step1] 5次のLagrangeの分解式を作り (Subscript[s, 1]), (Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]) の5乗の値を求める (ζ は１の原始５乗根の一つ)

({{{, ({{(Subscript[s, 0]), =(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]) (=0)}, {(Subscript[s, 1]), =(Subscript[x, 1])+ζ(Subscript[x, 2])+(ζ^2) (Subscript[x, 3])+(ζ^3) (Subscript[x, 4])+(ζ^4) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 2]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^2) (Subscript[x, 2])+(ζ^4) (Subscript[x, 3])+ζ (Subscript[x, 4])+(ζ^3) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 3]),  =(Subscript[x, 1])+(ζ^3) (Subscript[x, 2])+ζ (Subscript[x, 3])+(ζ^4) (Subscript[x, 4])+(ζ^2) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[s, 4]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^4) (Subscript[x, 2])+(ζ^3) (Subscript[x, 3])+(ζ^2) (Subscript[x, 4])+ζ (Subscript[x, 5])}})}}) ⇒   ({{{, ({{(Subscript[x, 1]), =(Subscript[s, 1])+(Subscript[s, 2])+(Subscript[s, 3])+(Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 2]), =(ζ^4)(Subscript[s, 1])+(ζ^3)(Subscript[s, 2])+(ζ^2) (Subscript[s, 3])+ζ (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 3]), =(ζ^3)(Subscript[s, 1])+ζ(Subscript[s, 2])+(ζ^4) (Subscript[s, 3])+(ζ^2) (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 4]),  =(ζ^2)(Subscript[s, 1])+(ζ^4)(Subscript[s, 2])+ζ (Subscript[s, 3])+(ζ^3) (Subscript[s, 4])}, {(Subscript[x, 5]), =ζ(Subscript[s, 1])+(ζ^2)(Subscript[s, 2])+(ζ^3) (Subscript[s, 3])+(ζ^4) (Subscript[s, 4])}})}})
 
   ここで 次の関係が成り立つ.
                              (#)({{{, ({{(Subscript[s, 1])をσで移すと (Subscript[s, 1])→(ζ^4)(Subscript[s, 1]), □}, {(Subscript[s, 2])をσで移すと (Subscript[s, 2])→(ζ^3)(Subscript[s, 2]),  }, {(Subscript[s, 3])をσで移すと (Subscript[s, 3])→(ζ^2)(Subscript[s, 3]),  }, {(Subscript[s, 4])をσで移すと (Subscript[s, 4])→ ζ(Subscript[s, 4]),  }})}})
σは 分解式を「 s1→(ζ^4)s1→→(ζ^3)s1→→(ζ^2)s1→ζs1→s1」 のように移す．

(#)から ((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5) は  (Subscript[C, 5])で不変．故に Q(ζ)に入るので ((Subscript[s, 1])^5),((Subscript[s, 2])^5), ((Subscript[s, 3])^5),((Subscript[s, 4])^5) の値は「単純計算」で求まる．(方程式などは不要)

[Step2] 三角関数を使って  (Subscript[s, k])(k=1,2,3,4)を表し，(s1^2)s3,s1(s2^2) の値から  (Subscript[s, k]) を求める．それを代入すれば f(x)の解が求まる

Galois群が (Subscript[C, 5]) のとき， (Subscript[s, 1])(Subscript[とs, 4]) ，(Subscript[s, 2])(Subscript[とs, 3])が複素共役が言える(補足参照)

故に (Subscript[s, 1])=(Subscript[r, 1])(cos (Subscript[θ, 1])+i (Subscript[sinθ, 1])),(Subscript[s, 2])=(Subscript[r, 2])(cos (Subscript[θ, 2])+i (Subscript[sinθ, 2])),(Subscript[s, 3])=(Subscript[r, 2])(cos(- (Subscript[θ, 2]))+i sin(-(Subscript[θ, 2]))),(Subscript[s, 4])=(Subscript[r, 1])(cos(- (Subscript[θ, 1]))+i sin(-(Subscript[θ, 1]))) とおける．

(#)(Subscript[からs, 1])(Subscript[s, 4]),(Subscript[s, 2])(Subscript[s, 3 ]),(s1^2)s3,s1(s2^2)は (Subscript[C, 5])で不変．故にQ(ζ)に入るので，(Subscript[s, 1])(Subscript[s, 4]),(Subscript[s, 2])(Subscript[s, 3 ]),(s1^2)s3,s1(s2^2)の値は「単純計算」で求まる．　これから (Subscript[r, 1, ])(Subscript[r, 2]),(Subscript[θ, 1]), (Subscript[θ, 2])が求まる．即ち (Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[s, 4]) が求まる．また, 三角関数を累乗根に直すのも容易．[以上]

§5．補足

[補足1](Subscript[s, 1]) (Subscript[とs, 4]), (Subscript[s, 2])と (Subscript[s, 3])は複素共役

((Subscript[s, 1])^5)∈Q(ζ)だから，((Subscript[s, 1])^5)=a+b ζ+c (ζ^2)+d (ζ^3) (a,b,c,d は有理数)とおける．これを μ:ζ→(ζ^3) で移すと
                                        ({{{, ({{((Subscript[s, 1])^5)=a+b (ζ^2)+c (ζ^4)+d ζ, □}, {((Subscript[s, 2])^5)=a+b (ζ^4)+c (ζ^3)+d (ζ^2), □}, {((Subscript[s, 4])^5)=a+b (ζ^3)+c ζ+d (ζ^4), □}, {((Subscript[s, 3])^5)=a+b ζ+c (ζ^2)+d (ζ^3), □}})}})
a,b,c,d は有理数だから  (Subscript[s, 1])(Subscript[とs, 4])，(Subscript[s, 2])(Subscript[とs, 3])は複素共役

[補足2]f(x)=0の解は　全て実数

補足１より明らか

[補足3]|(Subscript[s, 1])|=|(Subscript[s, 2])|=| (Subscript[s, 3])|=|(Subscript[s, 4])|となると思うが，まだ証明できていない．

Galois群が (Subscript[C, 5])となる方程式は非常に数が少なく，この例以外では f(x) = (x^5)-11(x^3)-11(x^2)+11x+11 しか見つけていない．この関数でも |(Subscript[s, 1])|=|(Subscript[s, 2])|=|(Subscript[s, 3])|=|(Subscript[s, 4])|が成り立つが，たった2つの例だけでは，まだ何とも言えない．しかし成り立つ気がする．

【参考文献&サイト】次のサイトや文献を参考にさせて頂きました．ありがとうございます．

({{{, ({{1.(HyperlinkURL["可解な5次方程式について(大迎 規宏氏)", https://hyogo-u.repo.nii.ac.jp/record/5251/files/ZD30301003.pdf]), □}, {2.(HyperlinkURL["方程式のガロア群(松田修氏)", https://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galois_equations.pdf]), □}, {3.(HyperlinkURL["ガロア理論を使って方程式を解いたことがありますか(scruta氏)", https://calgal.info/]), □}, {4.(HyperlinkURL["ペンギンは空を飛ぶ- 5次方程式の解を巡る旅 (peng225氏)", https://peng225.hatenablog.com/entry/2018/01/25/200421]), □}, {5.(HyperlinkURL["Period-Mathmatics 可解な5次方程式の代数的解法", https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2019/05/11/164456]), □}, {(以下は書籍), □}, {6.(HyperlinkURL["ガロアの群論(中村亨氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%BE%A4%E8%AB%96%E2%80%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%81%9C%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%81%AA%E3%81%8B%E3%81%A3%E3%81%9F%E3%81%AE%E3%81%8B-%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-%E4%B8%AD%E6%9D%91-%E4%BA%A8/dp/4062576848/ref=sr_1_1?adgrpid=53001801813&dib=eyJ2IjoiMSJ9.rDFwg-m8XukNrR90DvZJTrOuZ0RIbpH6mWvOM64KlnvQvxJQxrWvX3NyChoQOQLZm2sD_fJlV0ljUFqiHTlm49fbQyUwnTP5dPN7lzGeVgEFcJt8GDZCWCW2vsO6_ItB8zjfn8Vx6GKkH3pCL_hJizTZGbemmi-s-zjaNOXoeFbyu9sRPC62aeCAVexKhJP1TW2X1i0o1m0jcuz4yoU3ZlbjEooDhiz5h_kFqK30we9FYG2_zveqV6dtZFd2tvv3eKu-P0a2JZMbbFAS0Wz4rUOLPlK6yGBQkQTNAuEICqhvxg-CPjdCvhc-kWquVEokcwoNTnRlWGULAliToJFDnnESdQvQuW73IZwzov1pifuGJ85fERR2GmOmgGYg_mVA0GbIPeMXh470TzEdk07zq8_LHV30s8XJ1yYRGo_nJdPfiRQiF-4MCRRPY-pDAEeB.JeCkjB_ZPG46AYt8vvKEqIJYe3craliwzEfHkOgfRAA&dib_tag=se&hvadid=679072441399&hvdev=c&hvlocphy=1009277&hvnetw=g&hvqmt=e&hvrand=15120444813952387024&hvtargid=kwd-333087534169&hydadcr=13894_13573117&jp-ad-ap=0&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%BE%A4%E8%AB%96&mcid=d840888251fb3c52925a095017da9ed0&qid=1739152791&sr=8-1]), □}, {7.(HyperlinkURL["ガロワ理論最短コース(梶原 健氏)", https://www.amazon.co.jp/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E3%82%92%E5%AD%A6%E3%81%B6-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9-%E6%A2%B6%E5%8E%9F%E5%81%A5/dp/4535787018/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=101QXCSB01O7C&dib=eyJ2IjoiMSJ9.Dsna8TMhaDUsGMKsdDcy_lzBUCqGVSdqMs2-UaoC9DzGjHj071QN20LucGBJIEps.GA2FXcKaTsVSUiHLXNg3UwkIrry24xzWhLxKMCLfKjM&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9&qid=1739153189&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E7%90%86%E8%AB%96%E6%9C%80%E7%9F%AD%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9%2Caps%2C169&sr=8-1 ]), □}, {8.(HyperlinkURL["ガロア理論の頂きを踏む(石井俊全氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%82%92%E8%B8%8F%E3%82%80-BERET-SCIENCE-%E7%9F%B3%E4%BA%95-%E4%BF%8A%E5%85%A8/dp/4860643631/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=6U6O5KFZFB1I&dib=eyJ2IjoiMSJ9.BBAXosCmu-2sx1rv4ye9IFuHi1gCxQwHbv80TiR0qzl7Z8pa2CRIw4uD12lLEJopehlwLWxTxCJoS6x8-gYtB3aVGyvFmrf8gKf4fSQfUGfvaofVRWoswiYxS0pXi4hYyZtpXgH5aV08YNjzTBgVPQ.pU6hybJJdLh8sAa44zpuoAlf4GxpsWmmejfjTHCm9VA&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%81%8D&qid=1739153303&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%A0%82%E3%81%8D%2Caps%2C166&sr=8-1]), □}, {9. (HyperlinkURL["ガロア理論「超」入門(小林吹代氏)", https://www.amazon.co.jp/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%80%8C%E8%B6%85%E3%80%8D%E5%85%A5%E9%96%80-%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%A8%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%8B%E3%82%89%E8%80%83%E3%81%88%E3%82%8B-%E7%9F%A5%E3%82%8A%E3%81%9F%E3%81%84-%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9-%E5%B0%8F%E6%9E%97/dp/4774185744/ref=sr_1_1?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=3CJFLGVWBGJ0N&dib=eyJ2IjoiMSJ9._iyPRqsDdtiH9rjS14CnSLMZLTBwnCel0FABjlt0goQ7VaZ3I-wbKkTr0VRbtC94IIF5hQjbbN8Kz_8sDPaQaPEx2v9JZhxFEPyOBRDWKcCo7_MVjhEiW3ZDrES_j8DtwPK7x6QqRQJXlybfokiTULxCWkVHabVuBLFWAdStu_s_wbCTRnpz2z2BHXLF0qrVCotnGDlIWPJtCZu7rkLQ0QZ5YEbo8uqZqksM7Yr22_yX6D6C6gYdcHXCxe0Wjks5JpgEDuKQxQR7NiHHXQB-pxpHI6t5YliSIgLJ9bs_R5oPIy5MpMzP_iWYKB_Y7NsZfoaE4dMOuD3vfQhgEIWoOyq4SbJwyhTjrBlUI--Iwl2waGp2p3M0IaQKNK7O9-KI4uGwtojcP5bMqkkBTurPbH5l0ePE3b8eps7IEwDihPHIEaLBlDf_5IBYuQDDhshq.SgKErKyHHbfk29Y7wi-pBWX37kMmIQRY28Hqbfjq5LI&dib_tag=se&keywords=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%80%8C%E8%B6%85%E3%80%8D%E5%85%A5%E9%96%80&qid=1739153575&sprefix=%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96+%E8%B6%85+%E5%85%A5%E9%96%80%2Caps%2C218&sr=8-1]), □}})}})

[1] がなんといっても一番詳しいですが難しいです．まだ読了していません．読了したら[1]の解き方でも解いてみたいと思っています．しかし[1] が難しいのは一般論 （例えば Galois群の判別式） をしっかりやっているからで，「有理係数の方程式を解くだけ」 なら Mathematica を使えば, 結構解けるものだなと感じました．数学的な知識は[6], [7], [8], [9] の入門レベルしか使っていません． 最後に，私は専門家ではないので，色々間違いしているかもしれません．その際はお知らせ下さると有り難いです．なおメールアドレスは　ロボット対策のため 画像ファイルとなっています．クリックしても何も起こりません. 
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